4多服务台的情形[m_m_c]

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1、§4.多服务台的情形[M/M/C]§4.1标准的[M/M/C]模型即：[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]标准的[M/M/C]模型与标准的[M/M/1]模型的各特征规定相同，另外，各服务台工作是相互独立且平均服务率相同，即μ1=μ2=μ3…=μc=μ，整个服务机构的平均服务率为：cμ(n≥c时)或nμ(n=c时，为cμ，故可得差分方程：2文库专用利用递推法解该差分方程可求得状态概率为

2、：(1≤n=c)这里：，ρ≤1(n≤c),(n>c)3文库专用系统的运行指标为：4文库专用例4.某售票所有三个窗口，一个队列形成M/M/C系统。顾客到达服从泊松流λ=0.9人/M，服务时间服从负指数分布，μ=0.4人/M，求：(1)空闲的概率;(2)平均队长Ls，Lq;(3)平均等待时间和逗留时间Wq,Ws;(4)顾客到达后必须等待的概率.解:(1)5文库专用(2)(3)6文库专用(4)为计算简化，现专门根据=λ/cμ值和c值编制了Wqμ数值表可供使用，其结构为：顾客到达后必须等待的概率7文库专用例如上题中可查表得：ρ=0.75,c

3、=3,Wgμ=0.756∴8文库专用§4.2M/M/C型系统和C个M/M/1型系统的比较上面说的是M/M/C型系统，系统中只有一个队列，若系统c个服务台前各有一个队列，则是c个M/M/1系统的迭加（见下面图示），虽然这两种系统看上去相似，但其运行指标却有很大差别。9文库专用现仍以上面的例4进行分析。如果除排队方式外，其它条件不变，顾客到达每个窗口前各排一队，且进入队后坚持不换，这就形成了上面的队列，每个队列的平均到达率为λ1=λ2=…=λc=λ/c=0.9/3=0.3人/M.这样，原来的系统就变成了λ=0.3人/M的3个M/M/1型子系统，且相互

4、独立。按M/M/1求解并与上面的比较得：从上表可知，M/M/C系统明显比C个M/M/1系统的指标优。10文库专用§4.3系统容量有限制的情形（M/M/C/N/∞）设系统的容量最大限制为N(≥C）,当系统中顾客数n已达到N（即队列中的顾客数已达N-C）时，再来的顾客将被拒绝，其他条件与标准的M/M/C型相同。此时的状态概率为：11文库专用其中：运行指标为：12文库专用§4.4顾客源为有限的情况（M/M/C/∞/M）设顾客源为有限m,且m>c，顾客到达率是按每个顾客考虑的。在机器维修模型中就是有m台机器，C个修理工，机器故障率就是每个机器单位运转

5、时间出故障的期望次数，系统中顾客数n就是出故障的机器台数。当n≤C时，无排队，有c-n个修理工空闲；当c

6、λ=1(次/小时)，μ＝4(台/小时)，c＝2，cρ/m＝λ/μ＝1/4，16文库专用§5一般服务时间的（M/G/1）模型任意分布服务时间：任何情形下面的关系都正确：Ls=Lq+Lse(Lse--服务机构中的顾客数)Ws=Wq+E[T]（E[T]--服务平均时间）Ls=λWs，Lq=λWq当然，对于有容量限制和有限源情形λ要换成λe.§5.1Pollaczek-Khintchine(P-K)公式对M/G/1模型,只要服务时间的E[T]和Var[T]存在，其他条件与M/M/1相同，且ρ<1,ρ=λE[T],则有：17文库专用§5.2定长服务时间M/

7、D/1模型该情况是服务时间是确定的常数，如一条装配线上完成一件工作的时间是常数。则:T=1/μVar[T]=0Ls=ρ+ρ2/2(1-ρ)这就是著名的P-K公式，只要知道λ,E[T],Var[T],无论T服从什么分布，各项运行指标都可算出来。18文库专用例5某售票口，顾客平均2.5分钟到达一个，服从负指数分布，顾客在售票口前至少要占用一分钟，且服务时间服从：f(y)=e-y+1y≥10y<1求Ws,Wq解：∵λ=1/2.5=0.4人/m令y为服务时间及y=1+x∴f(y)=e-xx>=0即x是服从均值为1的负指数分布。∴E[y]=E[1+x]=2

8、,Var[y]=Var[1+x]=Var[x]=1根据P-K公式：19文库专用人20文库专用定长服务时间M/D/1模型服务时间是确定的常