【庞加莱猜想证明---应用篇】

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1、【庞加莱猜想证明---应用篇】作者：曾富(1)：哈佛大学讲座教授、美国科学院院士、中国科学院外籍院士丘成桐2006年6月3日在北京宣布：经美俄中数学家30多年的共同努力，两位中国数学家---中山大学的朱熹平教授和美国里海大学教授及清华大学讲席教授曹怀东，最终证明了百年数学难题---庞加莱猜想。我们等待了40多年的庞加莱猜想证明，终于等到了，因此我们想说：向朱熹平和曹怀东学习！向朱熹平和曹怀东致敬！庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个

2、空间一定是一个三维的圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为高维庞加莱猜想。丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明。首先我们要对庞加莱猜想的点作一个约定：庞加莱猜想中的点可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的曲点和点内空间的点，不然就会产生矛盾。因为我们说的曲点，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及环绕数收缩

3、成的一点---如圈是绳一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结点就包含了环绕数，把有一个以上环绕数的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个曲点。即曲点最直观的数学模型，是指包含环绕数的点。而我们说的点内空间的点，是指虚数一类虚拟空间内的点。如果把在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球称为庞加莱猜想正定理，那么曲点和点内空间正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个

4、三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为庞加莱猜想逆定理。庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。即有人认为，19世纪是函数论的世纪，庞加莱因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的。所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其它函数的推广。自守函数今天已包括那些在变换群或这个群的某些子群作用下的不变函数。此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的。庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群。对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不

5、变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数。此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线。代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的单值化定理，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映像。其次，庞加莱是代数拓扑学(组合拓扑学)的奠基人，最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论。现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造---其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等

6、概念以及从该矩阵计算贝蒂)数的方法。籍助这些方法，庞加莱发现关于流形的同调的著名的对偶定理；定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它与一维贝蒂数的关系，还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，以及欧拉多面体定理的推广---现称之为欧拉—庞加莱公式：x(D)=F-E+V(1)这个式子的右边是和三角剖分的方式有关，但实际上x(D)和剖分的方式无关，它是曲面的一个拓扑不变量。对于紧致曲面，边界曲线不出现，仍然可以作三角剖分，因可求得：(1)球面：x=2；(2)环面：x=0；(3)2个洞的曲面：x=-2；(4)n个洞的曲面：x=-2(n-1)。根据拓扑学的定理可知，任何定向的2维紧致曲面的欧拉--庞加莱示

7、性数总是取2，0，-2，…，-2n，…中的一个，而且示性数相同的紧致曲面同胚。因此，x就完全给出了定向的紧致曲面的拓扑分类。称为s的亏格，即s的洞数。因此，可以求出：球面的亏格为0，环面的亏格为1，这也是球面与环面不同伦的区别。亏格涉及事物的整体性质，20世纪以来，人们对整体性质研究得非常多，但其实很多性质仍然是从子系统的研究得出的。微分几何和拓扑学首先注意到，许多曲面，如球面，环面，椭球面，单叶