【数学】2013年高考真题湖南卷(理)解析版

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】z=i·(1+i)=i–1,所以对应点(-1,1).选B选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查

2、,则宜采用的抽样方法是A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法【答案】D【解析】因为抽样的目的与男女性别有关,所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。选D3.在锐角中,角所对的边长分别为.若A.B.C.D.【答案】D【解析】选D4.若变量满足约束条件,A.B.C.D.【答案】C【解析】区域为三角形,直线u=x+2y经过三角形顶点选C5.函数的图像与函数的图像的交点个数为12A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】二次函数的图像开口向上,在x轴上方,对称轴为x=2,g(2)=1;f(2)=2ln2=ln4>1.所

3、以g(2)

4、.(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)9.在平面直角坐标系中,若右顶点,则常数3.【答案】3【解析】10.已知12.【答案】12【解析】.11.如图2,在半径为的中,弦.12【答案】【解析】(一)必做题(12-16题)12.若3.【答案】3【解析】13.执行如图3所示的程序框图,如果输入9.【答案】9【解析】14.设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为___。【答案】【解析】设P点在右支上,15.设为数列的前n项和,则(1)_____;(2)___

5、________。12【答案】【解析】设P点在右支上,16.设函数(1)记集合,则所对应的的零点的取值集合为____。【答案】【解析】。所以f(x)的零点集合为(2)若①②③.(写出所有正确结论的序号)①②③若【答案】①②③【解析】1所以①正确。所以②正确。。所以③正确。12三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数。(I)若是第一象限角,且。求的值;(II)求使成立的x的取值集合。【答案】(I)(II)【解析】(I).(II).(完)18.(本小题满分1

6、2分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由图知,三角形边界共有12个格点,内

7、部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”。所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率12(Ⅱ)三角形共有15个格点。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0),(2,0

8、),(3,0),(0,1,),(0,2),(0,3,)。与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1),(1,2),(2,1)。如下表所示:X1234Y51484542频数2463概率P.(完)19.(本小题满分12分)如图5,在直棱柱(I)证明:;(II)求

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