【数学】上海市浦东新区进才中学2016届高三上学期期中考试（理）

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1、进才中学2016届高三上学期期中考试数学试卷（理）一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合若则．2．方程的解是．3．函数和均为减函数的区间是．4．已知集合，若，则实数的取值范围是．5．已知函数是奇函数，若且，则．6．已知数列的前项和，则．7．若，则满足方程的角的集合是．8．在无穷等比数列中，，，则.9．已知函数存在反函数，若函数的图像经过点，则函数的图像经过点．10．已知等比数列的首项为2，公比为2，则．11．不等式的解集是．12．给出以下命题①若；②如果，则关于的实系数二次方程中至少有一个方程有实根；③若则；④当时，无最大值。其中真命题的序号是．13．已知函数，若关于方程

2、有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是．914．设数列是公差不为零的等差数列，前项和为，满足，，则使得为数列中的项的所有正整数的值为.二、选择题（本大题共有4题，每小题5分）15．已知函数，则是（）（A）最小正周期为的奇函数（B）最小正周期为的奇函数（C）最小正周期为的偶函数（D）最小正周期为的偶函数16．已知命题“非空集合中的元素都是集合中的元素”是假命题，现有下列命题：①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素；③中有属于的元素；④中的元素不都是的元素。其中真命题的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）417．已知函数是定义上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“

3、为上的减函数”（）（A）既不充分也不必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）充要条件18．设实数是一个等差数列，且满足，。若定义，给出下列命题：①是一个等比数列；②；③；④；⑤。其中真命题的个数为（）（A）2（B）3（C）4（D）5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分。在中，角的对边分别为，且成等差数列。（1）若，，求的值；（2）设，求的最大值。920.（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分。已知函数。（1）求函数的值域；（2）若当时，

4、不等式的解集是，求实数的取值范围。21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分。由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱。1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为。只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用。（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值。22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第

5、2小题6分，第3小题6分。函数，若对任意，均有，则称在内为对等函数。（1）指出函数，，在其定义域内哪些为对等函数；（2）试研究对数函数且在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使在所给集合内成为对等函数；（3）若，在内为对等函数，试研究的奇偶性。923.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.9参考答案一、填空题（每小题4分，共56分）1．3或52．33．4．5．36．27．8．。9．10．411．12．①

6、②13．14．二、选择题（本大题共有4题，每小题5分）15．D16．B17．D18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。19.（1）由，及，得。…………………………………………………………（2分）又，，，所以。所以（舍去）。…（6分）（2）因为，所以，………………………………………………（10分）9因为，所以。所以当，即时，有最大值。…（14分）20．（1）。当时，。∴。…………………………………………………………………（6分）（2）由（1），得，即。∴或。∵不等式的解集是，∴，即。…………………………（14分）21．（1）①时，由，结

7、合，∴。…………（2分）②，由，结合，∴。综上，。……………（5分）即若一个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为。……（6分）（2）当时，单调递增；当时，单调递减。……………………（9分）所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱。即时，，………………（12分）故当且仅当，即时，有最大值。……………………（14分）22．（1）与是对等函数。…………………………………………………（4分）（2）的定义域为，故。而，∴在其定义域内不是对等函数。………