0539《张家山汉简 算数书》“大广”脱字补

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1、《張家山漢簡算數書》“大廣”脫字補王元钧本文摘要：本文利用《九章算術》求田畝解法和初級代數的方法，結合一次同餘式的解法，對張家山二四七號漢墓竹簡《算數書》“大廣”一篇的脫文進行了勘補，並對該簡文已釋文字中的訛錯點進行了勘誤。關鍵字：張家山漢墓竹簡算數書脫字一次同餘式張家山二四七號漢墓竹簡《算數書》“大廣”原文兩簡，第一簡前幾字模糊不清。經整理小組辨識，整理出的內容兩簡全文如下：大廣廣七步九分步之□□□□□□□□□□□□□□□□□為□六十四步有（又）三百三分步之二百七十三。大廣術（術）曰：直（置）廣從（縱）而各以其分母乘

2、其上全步，令分子從之，令相乘也為實，有（又）各令分母相乘為法，如法得一步，不盈步以法命之。該段文字的內容和術文翻譯成現代漢語（為描述和計算方便，文中數字用阿拉伯數字代替），意思大致是：廣7又49分之□步，求縱□又□分之□步的情況下其田畝面積。答案是64又343分之273（平方）步。計算法（大廣術）：將廣和縱帶分數的分母分別乘以各自的整數部分（全步），再加上帶分數各自的分子部分。將廣和縱如此計算後的所得再相乘，作為被除數（原文需補上逗號為：令相乘也，為實），再將各自的分母相乘，作為除數（又各令分母相乘，為法）。整理乘得的

3、被除數（實）和除數（法），用除數去除被除數，被除數每滿除數就進一（如法得一步），直到被除數只剩下不足除數的部分（不盈），以除數作為分母，被除數不足除數的部分作為分子（命之）。術文計算過程其實就是將廣和縱兩個“帶分數”值（由一個整數和一個真分數組成，數值大於1的最簡分數）演變成“假分數”locatedintheTomb,DongShenJiabang,deferthenextdayfocusedontheassassination.Linping,Zhejiang,1ofwhichliquorwinemasters(Wu

4、zhensaidinformationisCarpenter),whogotAfewbayonets,duetomissedfatal,whennightcame7值（分子大於或等於分母，數值大於或等於1的分數），再將兩個假分數的分子和分母分別相乘，其中分子相乘所得作為被除數，分母相乘所得作為除數。用除數去除被除數，被除數被分成兩個數，一個是除數的整數倍數，一個是分子小於除數、分母為除數的真分數。正如唐李淳風注所說：“大廣田者，初術直有全步無餘步，次術空有餘分而無全步，此術先見全步複有餘分，可以廣兼三術，故曰大廣。”整

5、理小組只引用了這段注（見《張家山漢墓竹簡[二四七號墓]》（2001年文物出版社，p98），可惜並沒有根據這個思路去推究出該簡文所脫部分究竟是什麼文字和數位元。到該書修訂本2006年出版時該處脫文依舊。現借助代數法推求該段文字所脫部分。設“廣7步49分步之□□□”所脫部分為A，按照文意計算，“廣”演變成假分數後的分子為(7×49+A)，分母依然是49。又設所脫“縱”的整數部分（全步）為B，真分數部分的分母為D，分子為C。顯然，這些代數均為正整數。根據文意，可知：（7+A/49）×（B+C/D）=64+273/343（式1

6、）術文意即：這裏，（7×49+A）×（B×D+C）即為“實”，而49×D為“法”。根據術文，廣之分母49乘以縱之分母，得“法”為343。即49×D＝343，得：D＝7。由於A在廣的帶分數運算式中是分母49的分子，C在縱的帶分數運算式中是D的分子，根據真分數的分子小於分母的特性，則A和C的定義域分別為：locatedintheTomb,DongShenJiabang,deferthenextdayfocusedontheassassination.Linping,Zhejiang,1ofwhichliquorwinema

7、sters(WuzhensaidinformationisCarpenter),whogotAfewbayonets,duetomissedfatal,whennightcame7A：1≤A≤48的整數；C：1≤C≤6的整數。將D＝7代入式1：（7+A/49）×（B+C/7）＝64+273/343（式2）整理得：（7+A/49）×B+（1+A/343）×C＝64+273/343則：B＝（64×49+39）/（A+343）-C/7B＝3175/（A+343）-C/7（式3）A＝3175/（B+C/7）-343（式4）C＝

8、22225/（A+343）-7B（式5）由式3可知，B與A和C成負相關。當A和C取最大值時，則B為最小值；A和C取最小值時，則B為最大值。當A＝48，C＝6時，B＝3175/391-6/7≈7.26。當A＝1，C＝1時，B＝3175/344-1/7≈9.09。即7.26≤B≤9.09。因為B是整數，所以，B＝8，或B＝9。即該簡原