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《12.立体几何中的射影问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、[中国高考数学母题一千题](第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)立体几何中的射影问题射影问题的类型和解法关于射影:①点的射影:自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影;②线的射影:自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影,特别的,和射影面垂直的直线的射影是一个点;③体的射影:体上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个几何体在该平面上的射影;射影是立体几何中的特别且重要的概念.[母题结构]:(射影定理)从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影
2、相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;③垂线段比任何一条斜线段都短.[母题解析]:如图.①当OA=OB时,由RtΔPAO≌RtΔPBOPA=PB;当OA>OB时,由PA2-OA2=OP2=PB2-OB2PPA>PB;同理可证②③.1.点的射影子题类型Ⅰ:(1991年全国高考试题)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心[解析]:设三棱锥S-ABC中
3、,△ABC三边上的斜高SD,SE,SF在底面內的射影分别为OD,OE,OF,则∠SDO=∠SEO=∠SFOOD=OE=OFO是△ABC的内心或旁心,又由O在△ABC内O是△ABC的内心.故选(D).[点评]:三棱锥的顶点在底面上的射影:①在三棱锥中,若三条侧棱的长相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心;在三棱锥中,若侧棱与底面所成的角都相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心;②在三棱锥中,若各个侧面与底面所成的二面角相等,则射影为底面三角形的内心或旁心;在三棱锥中,若顶点与底面三边的距离相等,则顶点的射影为底面三角形的内心
4、或旁心;③在三棱锥中,若三条侧棱两两互相垂直,则顶点在底面的射影为三角形的垂心;在三棱锥中,若三条侧棱分别与所对的侧面垂直,则顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心;④在三棱锥中,若各个侧面在底面上的射影面积相等,则顶点在底面的射影为底面三角形的重心.2.线的射影子题类型Ⅱ:(2007年湖北高考试题)平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是和,给出下列四个命题:①⊥m⊥n;②m⊥n⊥;③与相交m与n相交或重合;④与平行m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4[解析]:由⊥⊥n或⊥mm
5、⊥n①错误;由m⊥nm⊥或n⊥⊥②错误;与相交m与n可能异面③错误;与平行m与n可能异面④错误.故选(D).[点评]:关于线的射影有如下基本结论:①和射影面垂直的直线的射影是一个点;②直线与其射影线所确定的平面与射影面垂直.3.体的射影子题类型Ⅲ:(2006年浙江高考试题)如图,正四面体ABCD的棱长为1.棱AB∥平面α,则正四面体ABCD上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是.[解析]:当CD∥平面α时,射影面积最大,此时射影图形为对角线长是1的正方形面积最大值为;当CD⊥平面α时,射影面积为最小最小值为面积的取值范围
6、是[,].[点评]:射影问题是立体几何中的重要问题,体的射影则是其特殊的问题,解答该类问题的关键是分类研究,尤其是各类中的特殊情况.4.子题系列:1.(2010年山东高考试题)在空间,下列命题正确的是()(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两个直线平行2.(2002年北京高考试题)关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断:①可能是00的角;②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是1800的角.其中正确判断的序号是(注:把你认为是正确判断的序号
7、都填上).3.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)三棱锥A-BCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,则C在面ABD内的射影是△ABD的()(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心4.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)三棱锥的三个侧面都是直角三角形,且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点,则其底面一定是()(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角三角形(D)等边三角形5.(2004年全国I高考试题)己知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③
8、同一条直线;④一条直线及其外一点.在上面结论中,正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号).6.(2007年上海高考试题)平面内两直线有三种位置关系:相交,平行与重合.已知两个相交平面α,β与两直线l1,l2,又知l1,
