《对数函数单调性的习题课》教学设计

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1、《对数函数单调性的习题课》教学设计教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。教学重点：对数函数单调性的应用教学难点：底数对对数函数的影响（Ⅰ）设置情景复习回顾师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？生1：当时，对数函数在内是增函数；当时，对数函数在内是减函数师：今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。（Ⅱ）探求与研究问题1：（幻灯片1）师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。生2：首先观察三个式子，可以判断出，

2、然后再判断的大小。可以写成，此时同底，然后比较的大小，因为，所以，因此，答案应为B。全体同学异口同声说：好！师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。我们来看第二题问题2：（幻灯片2）生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令，则在内是减函数，现在我们来求函数的单调区间，易得在是增函数，在是减函数，所以，函数在是减函数，在是增函数。师：看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好，应该注意的问题也注意到了。提醒大家一句在求函数的单调区间时，若题中没给定义域，要先求定义域。这道题也是对数函数单调性的一个简单应用。我们来看第三题。问题3：

3、（幻灯片3）师：也给大家一分钟的讨论时间。生4：我们可以把这个函数看作一个复合函数，令，则函数在是减函数，若要使函数在上是减函数，需满足，解之得。师：他说的完全正确……，还没等我把话说完，一位同学站起来说：我还有一种解法，同学们都在注视着他。这位学生边板演边讲解生5：我是从图像的角度考虑的。根据题意，我们可以画出函数的草图，根据图像的对称性，可以画出函数关于轴对称的函数的图像，知函数在是增函数，所以，即。大家都为他的解法鼓起了掌师：利用图像的对称性，运用的是数形结合的思想。妙！我们回头看一下这三道题（比较两个数的大小，求复合函数的单调区间以及求参量的取值范围），最后都化归为对数函数的

4、单调性问题来解决。那么如何判断和证明以对数函数为载体的函数的单调性问题呢？先看第一道题。问题4：（幻灯片4）。师：大家做完之后可以交流一下看法。大约三分钟之后，一位同学站了起来，我示意他到前面来板演，边做边讲。生6：因为在上是减函数，在上也是减函数，所以函数在上是减函数。证明过程是这样的：根据函数单调性的定义，作差比较-与零的关系，转化成比较与1的关系，利用不等式的基本性质可以得出，即也就是，因此函数在上是减函数。另一位同学霍地站起来，我还有一种证明方法。师：好！快说！我们都在期待你的方法。生7：因为在是增函数，所以我们可以比较真数的大小，即比较与的大小，利用不等式的基本性质可知，因

5、此，即，所以函数在上是减函数。哗……一阵热烈的掌声。这时又有一位同学站起来了，大家都很惊诧。生8：能否利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明这道题。师：具体一点.生9：首先求这个函数的反函数，再证明反函数的单调性。大家议论开了：这种方法比较麻烦，而且容易出错。师：大家能否评价一下这三种做法。生10：第一种是根据对数函数单调性的定义来证明的，第二种也是从函数单调性的定义出发，直接比较与中真数的大小。第三种则是利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明的。相对来说，第二种方法比较好一些。师：他说的非常好！第一种方法大家都容易想到的就是利用定义，第二种方法也是利用定义，只不过比较对象变了；

6、第三种方法是利用互反的两个函数的关系来做的，想法很好。但运算量较大，而且容易出错。三种方法各有特点，可根据自己的情况适当选择。一般情况下，证明函数的单调性就是要利用函数单调性的定义。我们再来看第二题。（Ⅲ）演练与反馈问题5：（幻灯片5）师：这是一道判断含参的函数的单调性问题，大家可以互相交流看法。然后告诉我你们的解题思路。生11：根据对数式真数大于零，可得。证明单调性的方法同第4题，只不过需要对参数进行分类讨论。师：大家同意他的看法吗？学生齐声：同意。师：我们再回头看一下判断和证明函数单调性的两道题，在证明函数单调性的时候，要事先在定义域中规定与的大小，无论我们用何种手段，只要能比较

7、出与的大小，单调性就可判断。总结：这5道题都是研究有关对数函数单调性的问题，我们处理的办法是从函数单调性的定义出发，这里对数函数只不过作为一个载体，最后都可归结为：以下三个结论，知其二，必知其一。①，②，③是增（减）函数