图论在高校排课问题中的应用

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1、图论在高校排课问题中的应用摘要：本文主要是通过对普通高校排课特点和难点进行研究，设计了一种基于图论的排课方法。文章首先根据教学要求构造出排课模型图，然后用图论的边着色理论对课时进行分配，针对教室不够用的情况，根据图论中的相关定理，对排课模型图中的一些边赋了权值，然后选出权值最大的加权图作为最优的排课方法。通过对高校的实际排课数据进行测试，表明该模型可行且能够有效地提高排课效率。关键字：排课、图论、边着色、匹配、加权图1问题的提出排课问题是典型的多类资源组合优化问题，它是针对有限的教师、教学场地及教学时间资源，为达

2、到最佳教学目标而进行的综合有效规划，其实质就是为学校所设置的课程安排一组适当的教学时间与空间，从而使整个教学活动能够有计划有秩序地进行。在排课问题中，其主要任务是将具有多种属性的各种资源，如教室、班级、教师、学生、课程、时间等，以一个周期的方式进行合理的匹配，使其不发生冲突。事实上，在排课问题中，每节课可抽象为教师和学生在时间和空间上的统一。因此，课表是协调教师和上课班级在上课时间、上课教室两个要素的总调度。一般而言，在教师讲授课程、班级及各部门课程的课时数量确定的前提下，排课必须满足下述基本要求：（1）教学场地

3、要满足教学任务的条件需求；（2）同一教学班级、教学场地及教师，在同一时间均只能进行一次教学安排。2图论在排课中的应用基于图论的排课模型两点约定在建立数学模型时，为了简化问题，这里假设：1)学校从周一到周五上课，每天上8节课，上午4节，下午4节，每两节课为一个授课单元，所以每周共有2O个授课单元。这里每个授课单元从周一上午(1，2)节到周五下午(3，4)节，分别由课时1，2，⋯，2O来表示，例如：课时1O表示周三上午(3，4)节。2)不考虑教室和教学设备的因素，即认为教室和教学设备总是可以使用的。构造教学要求关联矩

4、阵排课表时首先需要明确教学要求。要求要表达一些主要的关联关系，即教师、课程、班级以及授课时间之间的关联关系，这一关联关系可以通过一个关联矩阵加以量化，并用计算机存贮和处理。假设有四位老师和五个班级，教学要求所对应的关联矩阵可用图1表示，其中,X表示教师,Y表示班级，P表示教师X需要给班级Y上课的次数。将关距联阵表示成图图1的关联距阵可表示成一个图G。如图2所示，由图2可知：图G是一个以为顶点集，以授课关系为边集的偶图。图1关联矩阵用边着色理论分配课时根据图论的边着色理论，k边着色是指k种颜色1,2,…,k对于图中

5、各边的一种分配方案，着色时若没有相邻的两条边颜色相同，则称着色是正常的。如果图G可以用k种颜色实现正常边着色，就说明，从每一个顶点发出的相邻边颜色不同。本文把一种颜色对应一个课时，也即把图G的k边着色方案对应成k个课时的分配方案，为每一次授课分配时间段的过程就是边着色过程，这样可以既保证在一张有是个课时的课表内，某个教师所代的各班的课不在同一个课时，同时也可以保证每个班级所上的不同教师的课也不在同一个课时。那么，在假定教室足够多的情况下，就可以保证教师、班级和课程等要素不会发生冲突。下图3是图2的优化方案。[1]

6、图3中细实线代表第一种颜色对应课时1，点线代表第二种颜色对应课时2，点划线代表第三种颜色对应课时3，粗实线代表第四种种颜色对应课时4。从图3中可以看出(以教师为例)，教师在课时l和课时2要给班级上课，在课时3要给班级上课，在课时4要给班级上课。其余教师的授课情况也可以从图中看出。[2]应用课表的编排包括教师和上课班级在上课时间(节次)和上课地点(教室)上的编排，这其中的组合可能性太多，为此可将模型简化为两个子模型：教师和上课班级在时间(节次)上的编排；教师和上课班级在地点(教室)上的编排，而这两个优化过程都可以转

7、化为图论问题来解决。[1]1、排课问题的时间安排：排课问题在时间上的安排实际上就是安排每一个教师在具体的时间段到某个具体的班级去上课。这个安排要求满足下面的条件：同一时间每位教师只能到一个班级去上课；一个班级在同一个时间也只能由一位教师来上课。用图论的知识可以来表示这个问题。例如：有n位教师，用来表示，有m个班，用来表示，教师要给班级上课就将与相连，如果一周内教师要给班级上2次课，则连2条线，以此类推。可以先作一个二部图G，使G=(X，Y，E)，其中X=()代表n个教师，Y=()，代表m个班级，E代表与之间连接的

8、边，如图4表示：图4有相同顶点的边称为相邻边。对每一条边进行着色，一种颜色代表一个时间段，通常在大学中2个课时为1节课，每天4节，一周5天，故而在排课问题中边色数是2O，代表的是20个时间段，同种颜色的边代表同一个时间段。因为在同一时间每位教师只能到一个班级去上课，而一个班级也只能由一位教师来上课，相邻的边代表有共同的教师或学生。不可以安排在同一个时间段同时上课，因此相邻