数学高考复习名师精品教案：第9293课时： 极限数列的极限、数学归纳法

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1、数学高考复习名师精品教案第92-93课时：第十二章极限——数列的极限、数学归纳法课题：数列的极限、数学归纳法一知识要点（一）数列的极限1.定义：对于无穷数列{an}，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN，使得当n>N时，

2、an-A

3、<恒成立，则称常数A为数列{an}的极限，记作.2.运算法则：若、存在，则有；3.两种基本类型的极限：<1>S=<2>设、分别是关于n的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为、且,则4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：（

4、q

5、<1）12无穷数列{an}的所有项和：（当存

6、在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n有关命题的一种常用方法，其证题步骤为：①验证命题对于第一个自然数成立。②假设命题对n=k(k≥)时成立,证明n=k+1时命题也成立.则由①②,对于一切n≥的自然数,命题都成立。二、例题（数学的极限）例1.（1）=;2）．数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且=3,则=（3.）(a>1)=;（4）．=;（5）.=;（6）．等比数列{an}的公比为q=─1/3,则=;例2．将无限循环小数；1.32化为分数.例3．已知,求实数a,b的值;例4．数列{an},{bn}满足(2an+bn)

7、=1,(an─2bn)=1,试判断数列{an},{bn}12的极限是否存在，说明理由并求(anbn)的值.例5．设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为An,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn,其中a≠0,

8、r

9、<1.令Sn=G1+G2+…+Gn,若有=a,求r的值.例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n项之和为Sn,又设Tn=,求.例7．{an}的相邻两项an,an+1是方程x2─cnx+=0的两根，又a1=2,求无穷等比c1,c2,…cn,…的各项和.例8．在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆

10、，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。rnrn+1an12例9．如图，B1，B2，…，Bn,…顺次为曲线y=1/x(x>0)上的点，A1，A2，…，An…顺次为ox轴上的点，且三角形OB1A1，三角形A1B2A2，三角形An─1BnAn为等腰三角形（其中ÐBn为直角),如果An的坐标为(xn,0).(1)求出An的横坐标的表达式;An─1A1A2AnBnB3B2B1yxO(2)求.二．例题（数学归纳法）例1．用数学归纳法证明2n>n2(n∈N,n³5),则第一步应验证n=;例2．用数学

11、归纳法证明,第一步验证不等式成立；12例3.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年)例4.已知数列{an}=,记Sn=a1+a2+a3+…+an,用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n.例5．证明：>(n∈N,n³2)例6．证明：xn─nan─1x+(n─1)an能被(x─a)2整除(a≠0).例7.在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数使这个数成等差数列．记．（Ⅰ）求数列和的通项；（Ⅱ）当时，比较与的大小，

12、并证明你的结论．12例8．若数列{an}满足对任意的n有：Sn=,试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论.例9．已知数列是等差数列，。（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设数列的通项（其中，且），记是数列的前n项和。试比较与的大小，并证明你的结论。练习（数列的极限）1.已知{an}是等比数列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么的值等于()(89年)(A)8(B)16(C)32(D)482.的值等于()(91年)12(A)0(B)1(C)2(D)33.在等比数列{an}中,a1＞1,且前n项和Sn满

13、足,那么a1的取值范围是()(98年)(A)(1,＋∞)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,)7.)等于()(A)0(B)¥(C)(D)58．等于：（A）16（B）8（C）4（D）29．已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,=1,则公比q的取值范围是：（A）.q≥1（B）.0110.的值为()(A)0(B)1(C)2(D)不存在11.已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是{an}的前n项和，那么等于___.12.已知等差数列{an}的公差d＞0，首项a

14、1＞0，S＝______.(93年)13.如果存在，且，则＝________14.＝____________.(86年)15.＝____________.(87年)16.已知等比数列{an}的