多媒体技术11分形压缩new

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1、•13•第11章分形编码第11章分形编码分形编码是一种另类的压缩方法，其压缩率与被压缩数据的内容相关。对有的图像的压缩倍数可以达到几千、甚至几百万倍；对另一些图像则只能压缩几倍。分形压缩的基本思想是，利用数据的自相似或自仿射特征，构造相应的局部迭代函数系统，从而只需要少量的数据就可以恢复与原图象相近的图象，达到压缩图形数据的目的。本章先介绍分形和迭代函数系统的基本内容，然后讨论分形压缩的具体方法，最后给出若干图象的分形压缩的实例。11.1分形分形(fractal)是法国数学家BenoitB.Mandelbrot于1975年在创立分形几何学(fractalgeo

2、metry)时所造的一个新词，指具有一定自相似性的复杂不规则形体，一般为自然界中的物体和形态。如海岸线、云彩、山川、水系、树、烟雾、波浪、草坪、纹理和湍流等，它们都属于随机分形，具有统计的自相似性。还有Koch曲线、Sierpinski地毯、Mandelbrot集、Julia集、L系统和分数布朗运动等规则的数学分形，具有严格的自相似性。11.1.1Mandelbrot集和Julia集Mandelbrot集和Julia集都是复动力系统，是由复迭代公式z=z2+C(1)确定的收敛集，其中：z=x+iy,C=a+ib为复变量。Mandelbrot集：若固定C，让(1

3、)式每次从某个固定z0=x0+iy0（如x0=0,y0=0）开始进行无穷迭代，当其发散到无穷大时（可用

4、z

5、2=x2+y2>4来判断），用发散速度（迭代次数）来给C平面上所对应点着色，则在a：-2.2~0.6、b：-1.25~1.25的区域内，可得到变幻无穷且能无穷放大的美丽图案。参见图11-1~3。•13•第11章分形编码图11-1Mandelbrot集（x0=0,y0=0;a=-2.2~0.6,b=-1.25~1.25）图11-2Mandelbrot集2•13•第11章分形编码图11-3Mandelbrot集3Julia集：若固定C，让Z0在一定区域（如

6、

7、x

8、<1.75,

9、y

10、<1.75）内变化，则(1)式迭代的收敛集为Julia集。也可以似前着色，所得图形也非常美丽。如图11-4。图11-4Julia集•13•第11章分形编码11.1.2分维分维(fractaldimension)是分形的核心概念。要测量复杂的形状的长度、面积或体积不仅是非常困难的事，有时甚至是不可能的，如英格兰的海岸线长度，中国地表的面积，一棵大榕树的体积等等。解决办法之一，是测量它们的复杂程度，所用的度量工具就是形体的维数。一般来说，一个物体的维数D、线度（直径）l和测度（即一维形体的长度、二维形体的面积或三维形体的体积等等）m有如下关系

11、式：lD=m(1)如线度扩大一倍（2l），则长度也扩大一倍（(2l)1=2l）、但面积则扩大到4倍（(2l)2=4l2）、而体积则扩大到8倍（(2l)3=8l3）。从(1)式可以推导出维数的计算公式：这里的维数（分维）D不必是整数，可以是小数或分数，所以又叫分数维。如Koch曲线的分维D=ln4/ln3=1.2618、Peano曲线的分维D=ln4/ln2=2、Sierpinski三角地毯的分维D=ln3/ln2=1.5850。复杂的不规则物体，其分维一般大于其几何维数，将这样的形体称为分形。11.2迭代函数系统MichaelF.Barnsley于1985年提

12、出的迭代函数系统(IteratedFuctionSystems，IFS)是构造分形的有力工具，而分形压缩的图像是作为迭代函数系统的不变集出现的，它们本质上是一些压缩仿射变换。迭代函数系统的思想虽然早已见于J.Hutchinson于1981年所写的论文，但其命名及系统研究与应用却应归功于Barnsley。他不仅提出了IFS的随机迭代算法，还将IFS成功地用于分形插值函数的构造及分形图像的压缩。本节先引进迭代函数系统的定义，然后介绍一种生成二维迭代函数系统不变集的具体方法并给出若干实例，最后讨论适用于分形压缩的局部迭代函数系统。11.2.1IFS的概念设(K，d)

13、是一个紧度量空间，一般取K为Rn的一个紧子集(即有界闭集)，取d为Euclid度量。记，设H为K的所有非空子集组成的集合，h为Hausdorff度量：•13•第11章分形编码，则(H，h)也是紧度量空间。若wi(i=1，2，...，N)是K到K的连续映射，记w={w1，w2，...，wN}，则称{K，w}为迭代函数系统。若wi：K→K是连续压缩映射，即对任意x，y∈K，存在压缩因子si，0≤si<1，使，则称{K，w}为压缩(compact)或双曲(hyperbolic)迭代函数系统，以下简称其为IFS。定义W：H→H为，其中wi(A)={wi(x)：x∈A}

14、，则W为一压缩映射。若G∈H，W(G)