教学备课 用函数的观点看一元二次方程

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1、备课用函数的观点看一元二次方程在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用一元二次方程的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。下面我们来复习一下二次函数概念、图像、性质和一元二次方程的相关的概念。二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数的性质1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为。当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2.当

2、时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．一元二次方程：只含有一个未知数，并且求知数的最高次数是2的整式方程。1、一元二次方程的一般形式：2、二次项：，一次项：，常数项：。二次项系数：，一次项系数：。二、一元二次方程的解法：1、直接开平方法2、配方法（方程两边都加上一次项系数一半的平方。）3、公式法4、因式分解法（）三、根的判别式：1、2、3、四、根与系数的关系：1、1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的

3、特殊情况.图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．抛物线和x轴交点坐标与一元二次方程的根的关系：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-

4、4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.2.新授问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式

5、是y＝－x2＋2x＋。(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?问题2：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?对于问题(2)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“

6、数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解。更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。3.课堂练习：完成以下两道题：(1)已知二次函数y=-x2+2x+m与x轴的一个交点为3，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为（）。4.小结：1．通过本节课的学习，你有什么收获?有

7、什么困惑?2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有无交点，试说明，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解的情况。5.作业：书后练习12、16题