从一道高考题谈函数的处理方法

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1、从一道高考题谈函数的教学广东省陆丰市启恩中学（516500）林敏燕在高考复习第一轮复习二次函数时，我把今年广东省高考（理）第20题：已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．写在黑板上，直接跟学生说明这就是广东省今年的高考题，让学生来自已来处理这类问题。经过15分钟后，我发现能正确解出的学生很少，大部分学生的错误表现在：1、思维混乱，不知道从何处入手；2、讨论不周全，总在讨论对称轴的大小；3、函数和方程的概念混乱。要从哪里教会学生入手呢？我尝试着用波利亚的数学思想来引导学生，起到了良好的效果，实录如下：师：你做过这道题吗？生：没有。师：你做过这种类似的题吗？

2、最近有吗？经过一段时间后，有一学生站起来：前天上课有讲过一道这种这种类似的题：若关于x的方程有实根，求m的取值范围。师：相似的地方在哪里？生：换元后也是一个关于二次函数的零点问题，即方程根的问题。师：还记得当时的处理方法吗？能把这种方法应用到这道高考题上吗？生：有二种方法，一是利用二次函数的图像，得出不等式组；二是把参数和变量分离，把问题转化为二次函数的值域问题。师（提示）：大家不妨用这二种方法都试一试，看看能不能解出这道高考题？同学们大部分都在思考，埋头做起来了。经过几分钟后，有学生站起来：老师，用二次函数的图像来做情况好复杂，应该如何分类才好？师：这位同学问题提得好，

3、在区间[-1，1]上有解的情况是比较复杂，首先二次函数有可能开口向上，有可能开口向下；有可能在区间[-1，1]有一个根，有可能在区间[-1，1]有两个根，也有可能二次函数与x轴相切，且切点在区间[-1，1]上。分类如果处理不好，计算量会增大，而且结果也不容易得出。有哪位同学能使分类最简便，更容易计算？生：利用根的个数来分，分为在区间[-1，1]上有一个根和二个根，重根也记为二个根。这样计算很方便。这是我的解法：解：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解有两种情况：（1）方程f(

4、x)=0在[-1，1]上只有一解<=>（1）方程f(x)=0在[-1，1]上有二解<=>或综上，所以实数a的取值范围是或a≥1.师（赞许）：做得好。这样分类把计算量减少到了最低，又不会漏解。如果利用变量与参数分离，又会如何呢？生：老师，这道高考题比上次讲的哪个更复杂，参数与变量分离后，变量表示的函数比较复杂，难度较大。我只化简到这里：解：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解（）师：好，这是一个分式函数，上面是一次函数，下面是二次函数，这种函数的值域我们以前学过吗？生：学过。师：能不能用差别式法来求解？生：不能，因为变量有范围

5、，要用换元法。师：对，下面大家按这种思想解下去。生：因为用换元法要分子分母同时除以一个式子，所以我把函数倒过来求值域。请看：解：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，设，时，，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解ó∈或。师：这位同学做得好。一是把参数和变量分离成功了，二是没有直接求参数a,而是求它的倒数，这是用换元法的解题过程中的需要；三是利用导数

6、来判断单调性，没有利用基本不等式，因为利用基本不等式只能求出它的最小值，而无法求出最大值。小结：当出现二次函数的参数问题或可化为二次函数的参数问题的试题时，解法方向有二个，一是讨论二次函数的图像，结合函数来解之；二是变量与参数分离，把参数表示为变量的函数，求出这个函数的值域就可以得到参数的取值范围。随后，我又布置了一道类似的题：设，当时，恒成立，求实数a的取值范围。大部分同学都能完成，其中很大一部分同学对利用参数和变量分离的方法来求解。由于他们以前没有用过这种方法，所以当用这种方法解出来时，特别有成就感。有兴题的读者不妨一试。从这堂课我常常体会到，函数的教学是一个循序渐进

7、的过程，要慢慢的引导学生思考问题，从简单的、熟悉的、做过的题目来联想陌生的、较难的新题，联想解题过程，联想解题方法，联想解题思路，找出简单的、熟悉的题目和陌生的、较难的新题之间的联系，从而找到解题的突破口。