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时间:2018-08-09
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1、从一道高考题谈函数的教学广东省陆丰市启恩中学(516500)林敏燕在高考复习第一轮复习二次函数时,我把今年广东省高考(理)第20题:已知是实数,函数,如果函数在区间上有零点,求的取值范围.写在黑板上,直接跟学生说明这就是广东省今年的高考题,让学生来自已来处理这类问题。经过15分钟后,我发现能正确解出的学生很少,大部分学生的错误表现在:1、思维混乱,不知道从何处入手;2、讨论不周全,总在讨论对称轴的大小;3、函数和方程的概念混乱。要从哪里教会学生入手呢?我尝试着用波利亚的数学思想来引导学生,起到了良好的效果,实录如下:师:你做过这道题吗?生:没有。师:你做过这种类似的题吗?
2、最近有吗?经过一段时间后,有一学生站起来:前天上课有讲过一道这种这种类似的题:若关于x的方程有实根,求m的取值范围。师:相似的地方在哪里?生:换元后也是一个关于二次函数的零点问题,即方程根的问题。师:还记得当时的处理方法吗?能把这种方法应用到这道高考题上吗?生:有二种方法,一是利用二次函数的图像,得出不等式组;二是把参数和变量分离,把问题转化为二次函数的值域问题。师(提示):大家不妨用这二种方法都试一试,看看能不能解出这道高考题?同学们大部分都在思考,埋头做起来了。经过几分钟后,有学生站起来:老师,用二次函数的图像来做情况好复杂,应该如何分类才好?师:这位同学问题提得好,
3、在区间[-1,1]上有解的情况是比较复杂,首先二次函数有可能开口向上,有可能开口向下;有可能在区间[-1,1]有一个根,有可能在区间[-1,1]有两个根,也有可能二次函数与x轴相切,且切点在区间[-1,1]上。分类如果处理不好,计算量会增大,而且结果也不容易得出。有哪位同学能使分类最简便,更容易计算?生:利用根的个数来分,分为在区间[-1,1]上有一个根和二个根,重根也记为二个根。这样计算很方便。这是我的解法:解:函数在区间[-1,1]上有零点,即方程=0在[-1,1]上有解,a=0时,不符合题意,所以a≠0,方程f(x)=0在[-1,1]上有解有两种情况:(1)方程f(
4、x)=0在[-1,1]上只有一解<=>(1)方程f(x)=0在[-1,1]上有二解<=>或综上,所以实数a的取值范围是或a≥1.师(赞许):做得好。这样分类把计算量减少到了最低,又不会漏解。如果利用变量与参数分离,又会如何呢?生:老师,这道高考题比上次讲的哪个更复杂,参数与变量分离后,变量表示的函数比较复杂,难度较大。我只化简到这里:解:a=0时,不符合题意,所以a≠0,又∴=0在[-1,1]上有解,在[-1,1]上有解()师:好,这是一个分式函数,上面是一次函数,下面是二次函数,这种函数的值域我们以前学过吗?生:学过。师:能不能用差别式法来求解?生:不能,因为变量有范围
5、,要用换元法。师:对,下面大家按这种思想解下去。生:因为用换元法要分子分母同时除以一个式子,所以我把函数倒过来求值域。请看:解:a=0时,不符合题意,所以a≠0,又∴=0在[-1,1]上有解,在[-1,1]上有解在[-1,1]上有解,问题转化为求函数[-1,1]上的值域;设t=3-2x,x∈[-1,1],则,t∈[1,5],,设,时,,此函数g(t)单调递减,时,>0,此函数g(t)单调递增,∴y的取值范围是,∴=0在[-1,1]上有解ó∈或。师:这位同学做得好。一是把参数和变量分离成功了,二是没有直接求参数a,而是求它的倒数,这是用换元法的解题过程中的需要;三是利用导数
6、来判断单调性,没有利用基本不等式,因为利用基本不等式只能求出它的最小值,而无法求出最大值。小结:当出现二次函数的参数问题或可化为二次函数的参数问题的试题时,解法方向有二个,一是讨论二次函数的图像,结合函数来解之;二是变量与参数分离,把参数表示为变量的函数,求出这个函数的值域就可以得到参数的取值范围。随后,我又布置了一道类似的题:设,当时,恒成立,求实数a的取值范围。大部分同学都能完成,其中很大一部分同学对利用参数和变量分离的方法来求解。由于他们以前没有用过这种方法,所以当用这种方法解出来时,特别有成就感。有兴题的读者不妨一试。从这堂课我常常体会到,函数的教学是一个循序渐进
7、的过程,要慢慢的引导学生思考问题,从简单的、熟悉的、做过的题目来联想陌生的、较难的新题,联想解题过程,联想解题方法,联想解题思路,找出简单的、熟悉的题目和陌生的、较难的新题之间的联系,从而找到解题的突破口。
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