一轮复习配套义：第8篇第9讲圆锥曲线的热点问题

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1、第9讲　圆锥曲线的热点问题[最新考纲]1．理解数形结合的思想．2．了解圆锥曲线的简单应用.知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个

2、交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．2．圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝＝

5、x1－x2

6、＝·

7、y1－y2

8、(抛物线的焦点弦长

9、AB

10、＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．3．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数

11、的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.学生用书第157页辨析感悟1．对直线与圆锥曲线交点个数的理解(1)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．(√)(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(×)(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(√)2．对圆锥曲线中有关弦的问题的理解(4)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直

12、于x轴的直线交C于A，B两点，且

13、AB

14、＝3，则C的方程为＋＝1.(√)(5)已知点(2,1)是直线l被椭圆＋＝1所截得线段的中点，则l的方程为x＋4y－6＝0.(×)(6)(2014·潍坊一模改编)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若

15、AB

16、＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于.(√)[感悟·提升]两个防范　一是在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况，如(2)；二是中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部，如(5).考点一　直线与圆锥曲线位置关系【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1

17、：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．解　(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1.把点P(0,1)代入椭圆＋＝1，得＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在，且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m.联立消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，整理得2k2－m2＋1

18、＝0.①联立消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0.整理得km＝1.②综合①②，解得或所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.规律方法将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．【训练1】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分

19、别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解　(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞.即k的取值范围是∪.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)由方程①得，x1＋x2