历年考研题的选例_

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1、历年考研题的选例一、填空题（1）设矩阵，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则。（2006年数一，数二，数三）【答】__2_【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，矩阵乘积的行列式，和行列式计算等．[解]由BA=B+2E，得B(A−E)=2E,两边取行列式,得，又，因此．（2）设矩阵，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则。（2006年数四）【答】【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，阶矩阵计算，求逆矩阵等．[解]由BA=B+2E，得B(A−E)=2E,两边取行列式,于是，又，因此。（3），，其中为三阶可逆矩阵，则（2

2、004年数四）【答】【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，阶矩阵计算.[解]因为，故所以（4）设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解是（2004年数四）【答】【解析】因为，而且是实正交矩阵，于是，的每一行（列）向量均为单位向量，所以。(5)设矩阵满足，其中为单位矩阵，则______.（2001年数一）【答】.【解析】由得，由于没有因子，所以改用下述方法：由于原式等价于其中为非零待定常数。令比较系数得，解得，于是，故(6)设阶矩阵的元素全为1，则的个特征值是__________。.（99年数一）【答】____（n-1个零）__【解析】

3、由题知，特征方程为，所以特征值为（n-1个0）。(7)设,其中，则矩阵的秩______.（92年数一，数二）【答】___1___【解析】A为非零矩阵，则;因A的任一2阶子式皆等于零，故，于是.（8）设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通解为______.（93年数一，数二）【答】【解析】因的各行元素之和均为零，故方程组有非零解。。因未知量的个数与的秩的差等于1，所以为的基础解系，于是的通解为为任意常数。（9）已知设其中是的转置，则______.（94年数一，数二）【答】【解析】应用矩阵乘法的结合律，并注意到为矩

4、阵，而为常数，于是.二、选择题。（1）设均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【A】（A）若线性相关，则线性相关（B）若s线性相关，则线性无关（C）若线性无关，则线性相关（D）若线性无关，则线性无关（2006年数一，数二，数三，数四）【解析与点评】本题主要考查向量组线性相关的判断．可以用定义，也可以转化为矩阵的秩来做。【解法1】利用定义.若线性相关,则存在不全为0的常数使得，用A左乘等式两边,得，于是线性相关.【解法2】利用矩阵的秩．所以线性相关.选(A)．（2）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1

5、列的−1倍加到第2列得C，记，则【B】（A）（B）（C）（D）（2006年数一，数二，数三）【解析与点评】本题主要考查矩阵的初等变换，初等矩阵，以及初等变换和初等矩阵的联系.【解】依题意，，，又，于是。选(B)．（3）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是【】(A).(B).(C).(D).（2005年数一，数二）【答】应选（B）.【详解】按特征值特征向量定义，有，线性无关⇔恒为0⇔恒为0由于不同特征值的特征向量线性无关，所以线性无关.于是恒为0而齐次方程组只有零解⇔1所以应选（B）.（4

6、）设为n（）阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵,A*，分别为的伴随矩阵，则(A)交换A*的第1列与第2列得.(B)交换A*的第1行与第2行得B*.(C)交换A*的第1列与第2列得−B*.(D)交换A*的第1行与第2行得−B*.（2005年数一，数二）【答】应选（C）.【详解】为书写简捷，不妨考查A为3阶矩阵，因为A作初等行变换得到B，所以用初等矩阵左乘A得到B.按已知有,于是,从而,又因,故,所以应选（C）.（5）设阶矩阵等价，则必须（）（A)当时，。（B）当时，。(C)当时，。（D）当时，。（2004年数四）【答】（D）【

7、解析】因为当时，，又等价，故，即，从而选（D）。（6）设有齐次线性方程组和同解，其中均为矩阵，现有四个命题：）若的解均是的解，则；2）若，则的解均是的解；3）若和同解，则；4）若；则和同解。以上命题正确的是（）（A)1），2）（B）1），3）。(C）2)，4)。（D）3),4)。(2003年数一)【答】（B）【解析】若和同解，则；即，命题3）成立，所以排除（A）（C）.若，则不能推出和同解，如，则=1，但和不同解，可见命题4）不正确，排除（D）,答案选（B）（7）设，则与（）（A)合同且相似。（B）合同但不相似。(C）不合同但相

8、似。（D）不合同且不相似。（2001年数一）【答】（A）【解析】矩阵为对角矩阵，的特征值显见为，下面求的特征值，，所以的特征值也为。时，它是单特征值，属于时有一个线性无关的特征向量；时，由，矩阵的秩等于1，故矩阵属于时有三个线性无关的特征向量。对单位化记为，对施