高考数学模拟试题

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1、2012高考数学反证法与前面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括:“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾

2、的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A或者非A”,这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始,经

3、过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是:否定结论→推导出矛盾→结论成立。实施的具体步骤是:第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“

4、穷举法”。在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲,反证法常用来证明的题型有:命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显。具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆。Ⅰ、再现性题组:1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数,则方程f(x)=0______。A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根2.已知a<0,-1ab>abB.ab>ab>aC

5、.ab>a>abD.ab>ab>a3.已知α∩β=l,aα,bβ,若a、b为异面直线,则_____。A.a、b都与l相交B.a、b中至少一条与l相交C.a、b中至多有一条与l相交D.a、b都与l相交4.四面体顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,不同的取法有_____。(97年全国理)A.150种B.147种C.144种D.141种【简解】1小题:从结论入手,假设四个选择项逐一成立,导出其中三个与特例矛盾,选A;2小题:采用“特殊值法”,取a=-1、b=-0.5,选D;3小题:从逐一假设选择项成立着手分析,选B;4小题:分析清楚结论的几种情况,列式是:C-C×4-3-6,选

6、D。SCAOBⅡ、示范性题组:例1.如图,设SA、SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆心,C是SB上一点。求证:AC与平面SOB不垂直。【分析】结论是“不垂直”,呈“否定性”,考虑使用反证法,即假设“垂直”后再导出矛盾后,再肯定“不垂直”。【证明】假设AC⊥平面SOB,∵直线SO在平面SOB内,∴AC⊥SO,∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB,∴SO⊥平面SAB,∴平面SAB∥底面圆O,这显然出现矛盾,所以假设不成立。即AC与平面SOB不垂直。【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾。例2.若下列方程:x+4ax-4a+3=0,x+(a-

7、1)x+a=0,x+2ax-2a=0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。【分析】三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种:三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围,再所得范围的补集就是正面情况的答案。【解】设三个方程均无实根,则有:,解得,即-

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