2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题+答案

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1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解答一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）函数的无穷间断点数为（B）（A）（B）（C）（D）解：函数没有定义的点为；（a）因为,,所以是函数的跳跃间断点；（b）因为，所以是函数的可去间断点；（c）因为，所以是函数的无穷间断点。故函数的无穷间断点只有一个，所以应选（B）。（2）设函数，是一阶非齐次微分方程的两个特解，若常数，使得是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则（A）（A），（B），（C），（D），解：根据线性一阶非齐

2、次线性微分方程与其对应的齐次微分方程的解的性质，即：若是一阶非齐次微分方程的解，则当常数满足（a）时，仍然是的解；（b）当时，是对应的齐次方程的解；从而，根据本题的已知条件，有，即。故应选（A）。（3）曲线与（）相切，则（C）（A）（B）（C）（D）解：由题意，有，解得。故应选（C）。（4）设、为正整数，则反常积分的收敛性（B）（A）仅与有关（B）仅与有关（C）与、都有关（D）与、都无关解：因为，记，；因为在是瑕点，根据函数的反常积分的审敛法知，其敛散性与有关；而在是瑕点，但对任意小的正数，有，所以由极限审敛法知，对任意的正整数，都有收敛，故与无关；综上可知应选（B）。（

3、5）设函数由方程确定，其中为可微函数，且。则（B）（A）（B）（C）（D）解：对方程两边分别对、求偏导数，得，，所以，故选（B）。（6）（D）（A）（B）（C）（D）解：因为，故应选（D）。（7）设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是（A）（A）若向量组线性无关，则（B）若向量组线性相关，则（C）若向量组线性无关，则（D）若向量组线性相关，则解：因为向量组可由向量组线性表示，所以；若向量组线性无关，则，从而。故应选（A）。（8）设是阶实对称矩阵，且，若，则相似于（D）（A）（B）（C）（D）解：设非零向量是矩阵对应于特征值的特征值向量，即，则，又，所以，而，故，从而

4、，，又，所以矩阵的特征值为，故应选（D）。二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9）阶常系数齐次线性微分方程的通解为解：阶常系数齐次线性微分方程的特征方程为：，所以所求通解为：（其中为任意常数）。（10）曲线的渐近线方程为解：因为函数的定义域为，所以曲线无铅直渐近线；又，所以曲线无水平渐近线；而，所以曲线有斜渐近线；而，所以曲线的斜渐近线方程为：。（11）函数在处的阶导数解：因为，，，，故，从而。（12）当时，对数螺线的弧长为解：由题意，得所求弧长为：。（13）已知一个长方形的长以的速率增加，宽以的速率增加，则当，时，它的对角线增

5、加速率为解：长方形的对角线的长为：，则，从而当，时，（14）设，为阶矩阵，且，，则1/3解：由，知，矩阵，均可逆；因为，所以。三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）（15）（本题满分10分）求的单调区间与极值。解：因为，则，令，得驻点，无导数不存在的点；（1）因为，而，所以是函数的极大值；是函数的极小值；（2）当或时，；当或时，；所以函数的单调递增区间为：和；单调递减区间为：和。（16）（本题满分10分）（I）比较与（）；（II）记（），求。解：（I）因为当时，，所以当时，，故。（II）由（I）可知

6、，，而，即有，又，则由数列极限的夹逼准则，有。（17）（本题满分11分）设函数由参数方程（）所确定，其中具有二阶导数，且，。已知，求函数。解：因为，则；又，所以，即，从而，又，所以；所以，由，得；故。（18）（本题满分10分）一个高为的柱体形贮油罐，底面是长轴为，短轴为的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时（如图），计算油的质量。（长度单位为，质量单位为，油的密度为常数）（18题图）解：油的质量为：，而；油罐的底面所在的椭圆的方程可设为，则油罐所装油的底面积为：所以，油的质量为。（19）（本题满分11分）设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定，的值，使等式在变换

7、下简化为。解：由，得；而，；所以，从而，则由条件可得，解得或。（20）（本题满分10分）计算二重积分，其中。解：因为，则；从而即。（21）（本题满分10分）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，，。证明：存在，，使得。证：令，由已知条件，利用拉格朗日中值定理，得，；，；又，所以上面两式相加，得,即。（22）（本题满分11分）设，，已知线性方程组存在两个不同的解。（I）求，；（II）求的通解。解：（I）因为线性方程组存在两个不同的解，所以；则，故或；当时，因为；由，得；当时，，此时不符合题意；所以，。（II）由（I）的结论知，当