量子力学12套内部模拟试题

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1、模拟试题试题1一.（20分）设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。二.（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能级是，如果哈密顿算符变成（为实参数），求变化后的能级。三.（20分）质量为的粒子处于如下的一维位势中其中，且，,求其负的能量本征值。四.（20分）已知在与的共同表象中，算符的矩阵形式为579求的本征值和归一化的本征矢。五.（20分）两个线谐振子，它们的质量皆为，角频率皆为，加上微扰项（分别为两个谐振子的坐标）后，用微扰论求体

2、系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。试题2一.（20分）质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的状态上，求其动量与动能的取值几率分布及平均值。二.（20分）质量为的粒子处于如下一维势阱中若已知该粒子在此势阱中存在一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。三.（20分）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢、和构成的，以其为基矢的两个算符和的矩阵形式如下579其中，为实常数。证明算符和是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。四.（20分）固有磁矩为的电子，时处于的状态，同时进入方向

3、均匀磁场中。求时测量得的几率是多少。为已知常数，为自旋算符。五.（20分）一个电荷为、质量为和角频率为的线谐振子，受到恒定弱电场的作用，即，求其能量近似到二级修正、波函数到一级修正。试题3一.（20分）质量为的粒子，在阱宽为的一维无限深势阱中运动，当时，粒子处于状态其中，为粒子的第个本征态。（1）求时能量的取值几率；（2）求时的波函数；579（1）求时能量的取值几率。二.（20分）设体系的哈密顿算符为利用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。三.（20分）自旋为、固有磁矩为（为实常数）的粒子，处于

4、均匀外磁场中，设时，粒子处于的状态，求出时的波函数，进而计算与的平均值。四.（20分）若一维体系的哈密顿算符不显含时间，在能量表象中证明：(1)(2)(3)五.（20分）各向同性三维谐振子的哈密顿算符为加上微扰579之后，用微扰论求第一激发态的一级能量修正。试题4一.（20分）质为的粒子处于一维位势中，导出其能量本征值时满足的方程。二.（20分）质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的状态上，求其动量与动能的其中几率分布及平均值。三.（20分）若一维体系的哈密顿算符不显含时间，在能量表象中证明：（1）（

5、2）（3）579四.（20分）求自旋角动量在任意方向（方向余弦为）的投影算符的本征值和相应的本征矢。五.（20分）设有一量子体系，其能量算符的本征矢记为，给定厄米特算符及。设体系受到微扰的作用，若已知，试在微扰后的基态（无简并）下计算的平均值，准确到量级。试题5一.（20分）氢原子在时刻处于状态式中，为氢原子的第个本征态。（1）计算；（2）计算时能量的取值几率与平均值；（3）写出任意时刻的波函数。二.（20分）证明：（1）若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与579的另一个分量对易；（2）在与的共

6、同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性之积为最小。三.（20分）有一质量为的粒子，在如下势场中运动试求出束缚能级所满足的方程。四.（20分）由两个自旋为的粒子构成的体系，若两个粒子的自旋态分别处于；的态上，求体系分别处单态与三重态度几率。五.（20分）一个质量为、角频率微的线谐振子，受到微扰的作用，（1）用微扰论求能量的一级修正；（2）求能量的严格解，并与（1）的结果比较。试题6579一.（20分）设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们

7、的平均值。二.（20分）已知算符满足，证明，并在表象中求出的矩阵表示。三.（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能级是，如果哈密顿算符变成（为实参数），求变化后的能级。四.（20分）两个自旋为的非全同粒子，自旋间的相互作用是，其中，是常数，与分别是粒子1和粒子2的自旋算符。设时，粒子1的自旋沿轴的正方向，粒子2的自旋沿轴的负方向，求时测量粒子2的自旋处于轴负方向的几率。五．（20分）三维各向同性谐振子的能量算符为试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰579的作用，用微扰论求基态能量到二级

8、微扰修正，并与精确解比较。试题7一.（20分）线谐振子在时处于态上，其中为线谐振子第个本征值对应的本征函数。（1）求在态上能量的可测值、取值几率与平均值；（2）写出时刻的波函数及相应的能量取值几率与平均值。二.（20分）对一维定态问题，若哈密顿量为且设其具有断续譜，即，证明（1）（2）若与无关，则三.（20分）两个自旋为的粒子，它们之间的相互作用为是579，其中，是常数。设时，粒子1的自旋沿轴的正方向，粒子2的自旋沿轴的正方向