[初三数学]圆的知识总结

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1、初三数学（第五周）【教学内容】圆的定义及有关性质（二）【教学要求】1．使学生理解圆的中心对称性及旋转不变性，掌握圆心角、弦、弧，弦心距的相等关系定理及其推论。2．使学生掌握圆周角定理及其推论。3．使学生掌握圆的内接四边形性质定理。【教学内容】一、知识点分析：1．将圆绕圆心O旋转180°后，每条直径的两个端点交换位置，得到的图形与原图形重合。所以圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。不仅如此，绕圆心旋转任意角度后都能与原来的图形重合，这是圆的又一特性——旋转不变性，它是本书的理论基础。2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所

2、对的弦的弦心距相等。定理中“在同圆或等圆中”这一前提必不可少。由这个定理，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间就可以实现等量的相互转化，任意两个圆心角，两条弧，两条弦，或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。本定理及推论给解决有关圆的问题带来很大方便，它是本单元的重点之一。3．圆心角的度数等于它所对的弧的度数。4．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，本定理的证明过程中用到了完全归纳法，所以这是本节的难点之一。5．圆周角定理的推论：推论1同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角

3、所对的弧也相等。推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦为直径。推论3若三角形一边上中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。推论1是圆中证明两角，两条线段，两条弧相等的重要依据。推论2揭示了半圆，90°的圆周角及直径之间的内在联系。推论3是直角三角形斜边上中线的性质定理的逆定定理，是判定直角三角形或垂直关系的又一依据。这一组推论应用极为广泛，也是本节的重点之一。6．圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。这一定理是在圆中探求角的相等或互补关系时常用的定理，使用本定理时要注意识图，不要弄错四边形的

4、外角和它的内对角的位置。二、例题精讲例1．设⊙O的半径长为1，直径AB⊥直径CD，E为OB中点，弦CF过E点，求EF之长。解：如图1，连DF∵DC为⊙O直径∴∠CFD=90°∴∠COE=∠CFD=90°又AB⊥CD又∠1=∠1∴△COE∽△CFD即∴CF=∴EF=CF-CE=-=说明：连DF，构成直径所对的圆周角，这是圆中常添加的辅助线。另外，通过CF-CE来求EF，这种间接求值的方法要注意。例2．如图：⊙O1与⊙O2为两个等圆，M为O1O2中点，过M的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B、C、D。求证：AB=CD分析：AB、CD分别是等圆⊙O1和

5、⊙O2的弦。联系条件“M是O1O2的中点”，易知证明相应的弦心距相等是本题的最佳方案。证明：过O1作O1E⊥AB，过O2作O2F⊥CD∵∠1=∠2∠O1EM=∠O2FM=90°又M为O1O2中点∴O1M=O2M∴△O1EM≌△O2FM∴O1E=O2F又⊙O1与⊙O2是等圆∴AB=CD例3．如图3，⊙O是△ABC的外接圆，AO是⊙O的半径，AD是△ABC一边上的高。求证：∠BAO=∠DAC。分析：分别延长AO，AD交⊙O于E、F，构成圆周角的基本图形证法一：延长AO交⊙O于E，连BE，则∠BEA=∠C∵AO是⊙O半径∴AE为⊙O直径∴∠EBA=9

6、0°∴∠BAO+∠BEA=90°在△ABC中AD⊥BC于D∴∠C+∠DAC=90°又∵∠C=∠BEA∴∠BAO=∠CAD证法二：过O作OG⊥AB于G，交⊙O于H，连OB由垂径定理AH=BH=AB∴∠AOH=∠AOB又∠AOB与∠C分别是AB所对的圆心角与圆周角∴∠C=∠AOB∴∠C=∠AOH又OG⊥AB，AD⊥BC∴∠BAO+∠AOH=90°∠DAC+∠C=90°∴∠BAO=∠DAC证法三：延长AO，AD分别交⊙O于E，F，连结EF∵AE是直径∴∠F=90°又AD⊥BC∴∠ADB=90°∴EF∥BC∴BE=CF∴∠BAO=∠CAF说明：三种不同

7、的证法从不同的角度利用了圆周角定理及其推论，证法二和证法三还运用到了垂径定理及其推论，这体现了运用知识的灵活性。另外，证题中一些常用的辅助线的作法，如作出弦的弦心距，构造直径所对的圆周角等等要认真体会。例4．如图4，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径，CD是△ABC的高，H为圆周上任意一点，AH交CD于G，求证：AC2=AG·AH分析：由本题条件，很容易根据直角三角形中的母子相似构图在Rt△ABC中证得AC2=AD·AB对照结论，我们只需证AD·AB=AG·AH，所以我们只要连结BH，证明△ABH∽△AGD即可。另外，由于AC2=AG·AH，所

8、以我们也可以尝试证明△ACG∽△AHC。证法一：连结BHAB为直径∠AHB=90°∠AHB=∠ADGCD是高∠ADG=90°∠HAB=∠GAD△AHB