湖南高考理科数学试题-----导数

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1、湖南高考理科数学试题-----导数2013年5．函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2-4x+5的图象的交点个数为（　　）A．3B．2C．1D．0（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f

2、（x）在两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=-1综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是20．（13分）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S（t）（单位：m）和时间t（单位：s）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加

3、速度绝对值的最大值．考点：函数模型的选择与应用；导数的运算．407442专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数求出列车的速度关于t的表达式，令v（t）=0解出即可；（2）利用（1），令t=0，解出即可；（3）因为加速度a（t）=V'（t），利用导数求出即可．解答：解：（1）∵紧急刹车后列车的速度V（t）=S'（t），∴，当列车完全停止时V（t）=0m/s，∴t2﹣4t﹣60=0，解得t=10或t=﹣6（舍去）．即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10s．（2）由（1）知，从开始紧急刹车至列车

4、完全停止所经过的时间为10s，又由列车的速度∴火车正常行驶的速度当t=0时，V（0）=90m/s（3）∵紧急刹车后列车运行的加速度a（t）=V'（t）∴∵

5、a（t）

6、=∴

7、a（0）

8、最大，

9、a（t）

10、max=84m/s2点评：熟练掌握v（t）=s′（t），a（t）=v′（t）是解题的关键．当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．2012年22．已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0．（1）若对一切x∈R，f（x）≥

11、1恒成立，求a的取值集合．（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．2011年（Ⅱ）设数列{an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（an+1）=g（an），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，∴h（x）至少有两个零点．（2）当a≥x0时，

12、由（Ⅰ）知，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，∴h（a）h（x0）=0，从而a2≤a，由此猜测an≤a．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≤a，成立．2010年所以3ak+1＞（k+1）2．故当n≥3时，3an＞n2成立．于是，当n≥3时，an+1=3an，而a3=4，因此an=4×3n-3．综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n-3（n≥3）．（Ⅱ）存在a，使数列{an}是等比数列．事实上，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．即数列{an}是首项为a，公

13、比为3的等比数列，且an=a•3n-3．