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1、湖南高考理科数学试题-----导数2013年5.函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为( )A.3B.2C.1D.0(II)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.(II)由(I)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求;当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f
2、(x)在两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)f′(x2)=-1综上所述,存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是20.(13分)京广高铁于2012年12月26日全线开通运营,G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶,由于遇到紧急情况,紧急刹车时列车行驶的路程S(t)(单位:m)和时间t(单位:s)的关系为:.(1)求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间;(2)求列车正常行驶的速度;(3)求紧急刹车后列车加
3、速度绝对值的最大值.考点:函数模型的选择与应用;导数的运算.407442专题:导数的综合应用.分析:(1)利用导数求出列车的速度关于t的表达式,令v(t)=0解出即可;(2)利用(1),令t=0,解出即可;(3)因为加速度a(t)=V'(t),利用导数求出即可.解答:解:(1)∵紧急刹车后列车的速度V(t)=S'(t),∴,当列车完全停止时V(t)=0m/s,∴t2﹣4t﹣60=0,解得t=10或t=﹣6(舍去).即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为10s.(2)由(1)知,从开始紧急刹车至列车
4、完全停止所经过的时间为10s,又由列车的速度∴火车正常行驶的速度当t=0时,V(0)=90m/s(3)∵紧急刹车后列车运行的加速度a(t)=V'(t)∴∵
5、a(t)
6、=∴
7、a(0)
8、最大,
9、a(t)
10、max=84m/s2点评:熟练掌握v(t)=s′(t),a(t)=v′(t)是解题的关键.当x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).2012年22.已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.(1)若对一切x∈R,f(x)≥
11、1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)(x1<x2),记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)>k成立?若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由.2011年(Ⅱ)设数列{an}(n∈N*)满足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的n∈N*,都有an≤M.则x=0为h(x)的一个零点,且h(x)在(1,2)内有零点,∴h(x)至少有两个零点.(2)当a≥x0时,
12、由(Ⅰ)知,当x∈(x0,+∞)时,h(x)单调递增,∴h(a)h(x0)=0,从而a2≤a,由此猜测an≤a.下面用数学归纳法证明:①当n=1时,a1≤a,成立.2010年所以3ak+1>(k+1)2.故当n≥3时,3an>n2成立.于是,当n≥3时,an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3.综上所述,当a=0时,a1=0,a2=1,an=4×3n-3(n≥3).(Ⅱ)存在a,使数列{an}是等比数列.事实上,若对任意的n,都有3an>n2,则an+1=3an.即数列{an}是首项为a,公
13、比为3的等比数列,且an=a•3n-3.
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