义务教育2016-届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：直线与圆锥曲线

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.直线与圆锥曲线的位置关系，是历年高考考查的重点，常以解答题形式考查，以直线与圆锥曲线的方程为基础，结合有关概念及计算，将位置关系转化为相应的方程或方程组的解的讨论．如2012年广东T20等.[归纳·知识整合]1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，

2、得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．[探究]　直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与

3、平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

4、AB

5、＝

6、x1－x2

7、＝·＝·

8、y1－y2

9、＝·.[自测·牛刀小试]1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D．4解析：选C　由消去y得ax2－x＋1＝0，所以解得a＝.2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)A．1B．2C．1或2D．0解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．

10、3．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,5)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为线段AB的中点，则

11、AF

12、＋

13、BF

14、＝________.解析：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝10，由抛物线定义得

15、AF

16、＋

17、BF

18、＝y1＋y2＋p＝10＋2＝12.答案：124．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．则m≥1，且m≠5.答案：m≥1且m≠55．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OA

19、B的面积为________．解析：由c＝＝1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y＝2(x－1)，联立方程得解得x1＝0，x2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2，y2＝.∴S△＝×1×

20、y1－y2

21、＝×1×＝.答案：直线与圆锥曲线的位置关系问题[例1]　(1)已知直线y＝kx－1与椭圆＋＝1相切，则k，a之间的关系式为________________．(2)(2013·沈阳模拟)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)A.　　　　　B.C.D.[自主解答]　(1)由得(a＋4k2)x2－8kx＋4－

22、4a＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝64k2－4×(4－4a)(a＋4k2)＝0，即a＋4k2－1＝0.(2)由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.∵直线与双曲线右支有两个不同交点，∴解得－

23、是(　　)A.B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析：选C　由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，得－1≤k≤1，且k≠0.综上－1≤k≤1.弦长与中点弦问题[例2]　已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点F到直线x－y＋2＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当

24、AM

25、＝

26、AN

27、时，