义务教育2017-学年高中数学人教a版选修2-3课堂导学：1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质word版含解析

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1、课堂导学三点剖析一、增减性与最值问题【例1】在（1+2x）10的展开式中，（1）求系数最大的项；（2）若x=2.5,则第几项的值最大？解析：（1）设第r+1项的系数最大，由通项公式TCrrrr+1=·2x，依题意Tr+1项的系数不小于10Tr项及Tr+2项的系数，rrr1r1C102C1022(11r)r即，解得.rrr1r1r12(10r)C102C10219227∴≤r≤且r∈Z,∴r=7,故系数最大项为TC27778=x=15360x.1033(2)设展开式中的第r+1项的值最大，则Tr+1≥Tr＞0,Tr+1≥Tr+2＞0,TT

2、r1r2∴1,1,TTrr1rrC10(2x)11r2x1r1r1C10(2x)r∴.r1r1C10(2x)10r2x1Cr(2x)rr1105(11r)1r4955将x=2.5代入得,得≤r≤.5(10r)661r1∴r=9,即展开式中的第10项的值最大.二、“二项式系数和”、“系数和”问题【例2】已知（1-3x）8=a780+a1x+…+a7x+a8x.求（1）a0+a1+…+a8;(2)a0+a2+a4+a6+a8;(3)

3、a0

4、+

5、a1

6、+

7、a2

8、+…+

9、a8

10、.解析：（1）令x=1，得a80+a1+

11、…+a8=2=256.①(2)令x=-1，得a88-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=4②∴①+②得2(a888+a6+a4+a2+a0)=2+4.1∴a888+a6+a4+a2+a0=(2+4)=32896.2(3)由于（1-3x）8=C0C1(-3x)+C2(-3x)2+…+C8(-3x)8=a288+8880+a1x+a2x+…+a8x故a0,a2,…,a8＞0，a1,a3,…,a8＜0，∴

12、a0

13、+

14、a1

15、+

16、a2

17、+…+

18、a8

19、=a0-a1+a2-a3+…+a8.由②可知

20、a80

21、+

22、a1

23、+…+

24、a8

25、=4=65536.三、与“杨辉三角”有关的问题【例3】

26、如下图的数表中每一个数都是某个正整数的倒数，起始行（第0行）为1，每一个数都等于脚下两数之和.（1）试填写第1行和第2行，填法是否唯一，并说明理由.（2）注意第n行（n=0,1,2,…）的第1个数为1n+1，猜想此时第n行第r个数（不证明）.111n111解析：（1）=1,(m,n∈N*),则有,n与n-1互质，故m=2,n=2,第一行为,,mnmn22111令=(m,n∈N*),mn21n2则有.m2n当n-2=1时，n=3,m=6;当n-2=2时，n=4,m=4;当n-2是n的约数时，记n=R(n-2)(R∈N*),(R-1)n=2R,R与R-1互质，所以R-1=2

27、，R=3，此111111时n=3,进而知m=6.故第二行填法不唯一，可为，，，也可为，，.44436311111（2）猜想：令第3行第1个数为，则第3行各数依次为，，，.441212411第1行：,;2121111第2行：,,;3132311111第3行：,,,；41434341……1111第n行：,,…,,.01n1n(n1)Cn(n1)Cn(n1)Cn(n1)Cn1∴猜想第n行第r个数为.r1(n1)Cn各个击破【类题演练1】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n,(m,n∈N)的展开式中x的系数为11，求：（1）x2的系数的最小值.(2)当

28、x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中的x的奇次幂项的系数之和.11解析：（1）由已知C+2C=11,mn2222m(m1)∴m+2n=11,x的系数为C2C+2n(n-1)mn221351=(m-)2+,∵m∈N416∴m=5时，x2的系数取得最小值22，此时n=3.(2)由（1）知，当x2系数取得最小值22时n=3.∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3设这时f(x)的展开式为f(x)=a50+a1x+…+a5x令x=1,a530+a1+a2+a3+a4+a5=2+3令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1相减得2（a1+a3+a5）=60故展开式中x的奇

29、次幂项的系数之和为30.【变式提升1】已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x的值.n2n1n解析：由题意C+C+C=22nnn210即C+C+C=22,nnn∴n=6,∴第4项的二项式系数最大，∴C3（xlgx）3=20000即x3lgx=100061∴x=10,或.10【类题演练2】一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数