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时间:2018-08-08
《等高线模式:解决极大极小问题的另类策略》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、等高线模式:解决极大极小问题的另类策略 最近在看Pólya的《数学与猜想》,读到了一些很有意思的东西,在这里和大家分享。 我们首先来看一道很火星的题目:A、B两点在已知直线的同侧,请在直线上找出一点C使得∠ACB最大。可能大家都知道这个该怎么做,但这个解法到底是怎么想到的呢?《数学与猜想》提到了这样一种看法: 首先,我们需要确定,这条直线上的确存在一点,使得这个角度达到最大。我们很容易观察到,这个动点往左移(可以一直移动到BA的延长线与直线的交点),这个角度会慢慢变
2、小;同时,动点不断往右移时角度也会慢慢变小(在无穷远处角度为0)。可以想到,角度大小的变化可以用一个凸函数来表示,这段函数上一定存在一个最大点。现在任意在直线上取一点C,你怎么才能说明∠ACB是最大或者不是最大?一个比较直观的方法是,如果你取的C点不能使角度达到最大,那么这条直线上一定存在另一个点C',使得∠ACB=∠AC'B。分析到这一步,问题终于有了眉目,因为有一个大家都很熟悉的东西恰好与角度相等有关——同一段弧所对的圆周角总是相等。过点AB作一系列的圆,那么同一个圆周上的所有点对AB的张角
3、都是一样大的。我们看到,这些蓝色的线条与直线的交点都是成对出现,换句话说ABC三点确定的圆与直线的另一个交点就是那个C'。但有那么一个点非常例外:在这无穷多个圆中,有一个圆恰好与直线相切。这个切点只出现了一次,它就是角度大小的极大值。 真正的数学家会从这个简单的题目里看到一些更深的思想。我们可以把这个图任意的扭曲,从而得到这样一个有趣的结论。假设我和MM在野外探险,地形是任意给定的,我们的行动路线也是任意给定的。现在我有一张非常精确的等高线地图,我把我们的路线画在地图上,那么整个旅途中所到
4、达的最高点和最低点在地图上的什么位置?仔细思考等高线的定义,我们立即想到:路径穿过等高线的地方肯定不会是最高点或最低点,因为穿过一条等高线即表明你正在爬上爬下。因此,达到最高点或最低点的地方只能是等高线与我的路线相切的地方。这给我们一个启发:我们可以用这种模式来解决很多极大极小问题。我们把所有可能的结果的分布情况用等高线表示,而实际允许的初始条件则被限制在了一条路径上,那么最优解必然是这条路径与某条等高线的切点。用等高线模式来解释刚才的问题将变得非常简单:图中的蓝色线条就是角度大小的“等高线”,
5、在直线上取得极值的时候,等高线恰与直线相切,其它情况下角度大小都在“变化进行时”。 我们再来看三个有趣的例子。在第一个例子中我们将解释为什么点到直线的距离以垂线段最短,第二个例子则将探究为什么所有的圆内接n边形以正n边形最大。在第三个例子里我们将提到一个与椭圆有关的神奇性质。 上面这个图就是到定点距离大小的等高线图。我们可以立即看到,等高线就是一个个的同心圆。与已知直线相切的那个同心圆确定了直线到给定点距离最短的位置,而圆的半径与对应位置上的切线垂直,这就说明了点到直线的
6、距离以垂线段最短。 下面我们考虑圆内接多边形的某个顶点X。这个顶点两旁的点分别是A和B。那么整个多边形被分成了两部分:三角形AXB,和剩下的那一大块多边形。如果我们只移动点X,这只会影响三角形AXB的面积,对剩下的部分没有影响。X在不同位置所得到的三角形面积不同,在图中我们用蓝色的等高线来表示这个面积值的分布情况。由于等底等高的三角形面积相同,因此我们的等高线是一系列互相平行的直线。点X只能在一段圆弧上取,当△AXB达到最大时X必然落在圆弧与某条直线相切的地方,显然此时AX=B
7、X。换句话说,只要圆内接多边形里有长度不等的邻边,那么这个多边形的面积一定可以变得更大。再换句话说,只有所有边都相等了,面积才可能达到最大。这就说明了,所有的圆内接n边形以正n边形最大。 我相信你已经对这个方法非常熟悉了,因此最后这个例子我就不画图了。在第三个例子中,我们将考虑一个和光学有关的性质。给定一条直线和直线同侧的两点A、B,那么直线上一定有一点C使得AC+BC达到最小。这个点C是一个以A、B为焦点的椭圆形等高线与直线的切点。固定点A和点B,适当调整直线的位置,结论始终成立。还记得
8、Fermat原理吗,光从一点到另一点总是沿着光程最短的路径来传播。仅考虑反射定律,这个结论很显然。也就是说,A->C->B这样的光线传播路径完全遵循光的反射规律。嘿!我证明了这样一个富有传奇色彩的结论:椭圆形从一个焦点发射出来的光线总会反射到另一个焦点。
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