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1、线性代数疑难习题讲解容杰华叶宇鑫梁志光（2005．6）1．题目证明向量线性无关的充要条件是线性无关。知识点线性无关，向量的初等变换。解题步骤：方法一。必要性：设即∵线性无关∴有方程组∵其系数矩阵的行列式:∴只有零解即∴线性无关充分性：设与其等价的式子为12线性无关∴其系数矩阵的行列式：∴方程只有零解即∴线性无关.方法二：∵∴故线性无关的充要条件是线性无关方法总结：方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难，要确定与其等价式子的系数，可通过求解方程组的方法来确定。方法二是利用了向量的初等变换求秩方法来解决问题。相关例题：例4
2、.9（P67）2．题目设为n阶实矩阵，证明：若，则。12知识点：矩阵相乘、转置矩阵、零矩阵概念解题步骤：证明：设，则∴其中*为省略表示的代数和∴∵为实数∴即＝0∴常见错误及原因：混淆了零矩阵与行列式为零的概念，由得出。3．设为n阶矩阵，若，试证的特征值是-1或1.知识点：特征值与特征向量解题步骤：方法一。设的特征值为，对应的特征向量为，则有：两边左乘矩阵得：或12把和代入上式得：因为为非零向量，所以方法二。∵∴或∴∴∴或∴的特征值为或方法三。设的特征值为，并设有多项式则方阵的特征值为由得∴即∴相关例题：例5.4（P89）4．题目设A,X,B分
3、别是m×n,n×1,m×1矩阵，B≠0;是方程AX=B的一个解；对应的齐次方程AX=0的一个基础解系为，，…，，r=rank(A).证明,，，……，线性无关。12知识点：线性无关基础解系解题步骤：方法一。（从定义出发）设存在k,k,k,k…,k，使k+k+k+……+k=0在等式两边左乘A，有kA+kA+kA+……+kA=0，，……，是齐次方程AX=0的一个基础解系，是方程AX=B的一个解。kA+kA+……+kA=0，A=BkB=0B≠0k=0k+k+……+k=0成立，，……，是齐次方程AX=0的一个基础解系。，，……，线性无关k=k=k=……
4、=k=0k=k=k=k=……=k=0,，，……，线性无关.方法二。（反证法）假设可由，，……，线性表示，即=，，……，是齐次方程AX=0的一个基础解系。，，……，线性无关12是方程AX=B的一个解A=0=B这与B≠0矛盾假设不成立不能由，，……，线性表示Rank(，，，……，)=n-r+1,，，……，线性无关.方法三。证明：，，……，是齐次方程AX=0的一个基础解系。，，……，线性无关。Rank(，，……)=n－r是方程AX=B的一个解，B≠0不能由，，……，线性表示Rank(，，，……，)=n－r＋1,，，……，线性无关.方法总结虽然向量组
5、线性相关或无关的证明比较困难，但还是有多种方法可以解决。可从定义出发进行证明（方法一），可用反证法进行证明（方法二），还可以利用性质或定理进行证明（方法三）。5．题目求矩阵A=的特征值与特征向量。知识点特征值特征向量12解题步骤法：解：A的特征多项式为det(AE)==解det(AE)=0得特征值当时，得则：,故是A的属于的全体特征向量，当时，得则，，，故是A的属于的全体特征向量。常见错误解：A=则A的特征多项式为det(AE)=12得特征值…（因为特征值已经错误，后面的步骤省略）分析在计算这类题时，大部份同学都会将矩阵化为对角矩阵或上、下三
6、角矩阵，但有些同学习惯于纯粹的数字矩阵的初等变换，而不习惯于有未知数的初等变换，于是为了计算方便，便直接将矩阵A变换成对角矩阵或上、下三角矩阵，造成错误。其实我们可以知道，当矩阵A初等变换成对角矩阵或上、下三角矩阵时，矩阵A就不是原来的矩阵A，而是与矩阵A的秩相同的另一个矩阵了。相关例题(1)求矩阵A=的特征值与特征向量。(2)求矩阵A=的特征值与特征向量。6.题目在计算机行列式时如何利用范德蒙行列式的结果.知识点n阶范德蒙行列式的算法为=(1)它有如下结构特点:的每列都是某一个数的不同方幂,且自上而下方幂次数由0递增至n-1.只要抓住其特点
7、,将所给行列式转化为范德蒙行列式,然后用(1)式计算结果.现将常见的转化方法归纳如下:方法一当所给行列式各列（或行）都是某元素的不同方幂，但其次数或其排列与范德蒙行列式不尽相同时，应利用行列式的性质（提公因式，调换行列次序等），将其转化为范德蒙行列式。例如：12计算解提取各行的公因式，得上式即为n阶范德蒙行列式，故=n!(2-1)(3-1)…(n-1)·(3-2)(4-2)…(n-2)…〔n-(n-1)〕=n!(n-1)!(n-2)!…2!1!方法二当各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂时，可用加边法来转化。例如：计算解(
8、1)当a,b,c,d中任两个相等时，显然D=0(2)当a,b,c,d互异时，由于D中缺少三次幂的一行元素，为产生五阶范德蒙行列式，现添加一列，得按最后一列展开，得f
