初一状元成才家教辅导中心资料

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1、状元成才家教辅导中心第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作

2、a

3、。(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。也可以写成：说明：（Ⅰ）

4、a

5、≥0即

6、a

7、是一个非负数；（Ⅱ）

8、a

9、概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式

10、a

11、+

12、a+b

13、+

14、c-a

15、-

16、b-c

17、的值等于（A）A．-3aB．2c－aC．2

18、a－2bD．b39状元成才家教辅导中心解：

19、a

20、+

21、a+b

22、+

23、c-a

24、-

25、b-c

26、=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。举一反三.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示: 1    试化简:│a+b│-│b

27、-1│-│a-c│-│1-c│=___________. 例2．已知：，，且，那么的值（C）A．是正数　　　　B．是负数　　　C．是零　　　D．不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。举一反三.已知-a

28、d,0•这五个数由大到小用“>”依次排列出来. 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y由题意得：，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即

29、x<0，y>0，则4y=8，所以y=2,x=-6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x>0，y<0，则-4y=8，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x<0，y<0，则-2y=8，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x>0，y>0，则2y=8，所以y=4,x=12举一反三.化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜39状元成才家教辅导中心例4．（整体的思想）方程的解的个数是（D）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2

30、008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。举一反三.若

31、m-n

32、=n-m，且

33、m

34、=4，

35、n

36、=3，则（m+n）^2=_____.+=                例5．（非负性）已知

37、ab－2

38、与

39、a－1

40、互为相互数，试求下式的值．分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：

41、ab－2

42、=

43、a－1

44、=0，解得：a=1,b=2于是在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得

45、出了最终的结果．同学们可以再深入思考，如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与，3与5，与，与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．39状元成才家教辅导中心分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以

46、位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x<-1时，距离为-x-1,当-10，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为（3）结合数轴求得的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.分析：即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：图1图2图3图