第十四讲 构造与论证

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1、第十四讲构造与论证构造与论证是一类创造性的思维活动要求我们积极展开联想灵活运用所学的知识。而构造法是一种重要的数学方法，一类数论问题可以通过构造出某些特殊结构，特殊形式的数列或数组来解决，另外在解决一些图形问题上，逻辑推理问题上也可以通过构造我们所熟悉的特殊情景然后在解题，问题就变得容易多了。例1、(★★)有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从l至9厘米中任意整数厘米的长度?分析：下面两组刻度中的任意组都满足题中要求，将其左右对调又能得到两组：．例2、(★★)盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的．己知盒

2、子里的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全．问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同?分析：显然不能．例如盒子里只有规格和颜色分别为短红、短黄、短绿、中红、长红的5支铅笔．例3、(★★)一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的?分析：注意到有如下带有“○”的三条边满足(注意三条线没有任何两条在同一个平面内)，并且显然有只染2条边无法满足，所以至少需要3条白色的边．例4、(★★)国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后?分析：显然在2×2的棋盘中，只需要一个皇后即可

3、控制，3×3的棋盘中，只需在中心格内放入一个皇后即可控制；而4×4的棋盘中，我们只需将其分成一个3×3的棋盘，即一个“L”形如下图：构造与论证第16页共16页于是在3×3的棋盘内，中心格内放入一个，但是这个皇后确控制不了原4×4的左下角的一格．所以至少还需要在此处放入一格皇后，如下图所示，此时共需2个皇后．如果在3×3的棋盘中中心格不放入皇后，那么为了控制3×3的棋盘就必须要2个棋子．所以以上方案所需的皇后最少，为2个．例5、(★★)一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后一个三位数“吃掉”．例如，24l被352吃掉，123被123吃掉(

4、任何数都可以被与它相同的数吃掉)，但240和223互相都不能被吃掉．现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其他5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取l，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4．问这6个三位数分别是多少?分析：我们注意先书写高位数字较小的数字，再往下书写，有：114，123，132，213，222，231为所求的6个三位数．例6、(★★)在如图所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几?分析：每一空格填一个数，共有5个空格，各个数出现的次数总和应该等于5，即

5、第二行所填的五数之和是5．构造与论证第16页共16页如果4的下面一格所填数超过1，其他空格中至少有两个4，五个数的和就会超过5；如果4的下面填1，表示4在第二行出现一次．这时，其余数的和为0．所以，4只能填在0的下面，但第二行仅剩三个空格(五个空格中已填了一个1和一个4)，矛盾，所以4的下面一格只能填0．再看3的下面一格，若填大于1的数，则第二行至少有两个3，超过了5，不满足；若填1，则表示3在第二行出现一次．如果把3填在0的下面，1的下面至少填1，还剩两格，无法填上三个0；如果3填在其他数字下面，定会出现第二行五数之和大于5．所以，3的下面也只能填0．现在，第二行所剩三个空格中

6、，只能填0，1，2三个数字，且要它们的和为5，只有一个1和两个2满足要求．所以，1在第二行出现一次，1的下面一格应填1；2在第二行出现两次，2的下面一格应填2；0在第二行中出现两次，在0的下面一格填上2．便得到结果：21200．例7、(★★★)有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一．能否适当涂色，使得每个3×4小长方形(不论横竖)的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格？分析：能够染出，下图给出两种染法(实质一样，仅为左右对称)．例8、(★★★)桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第19

7、93次翻动其中的一枚．能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币原先朝下的一面都朝上?分析：因为共翻动了1993+1992+1991+…+3+2+1＝1994×1993÷2＝997×1993，也就是每枚硬币平均翻动997次，恰好使得原来朝上的一面变为朝下．构造与论证第16页共16页又有1993＝1+1992＝2+1991＝…＝996+997．所以，第k次与第(1995－k)次恰好翻动这1993枚硬币各一次，则最终每枚硬币均被翻动997次，原先朝下的一面都朝上．例9、(★