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1、各类等腰三角形难题例1.在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.试求:∠BDC的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°.则:∠CDE=70°;又∠ADE=80
2、°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.试求∠DEB的度数.本题貌似简单,其实不然.解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-
3、∠FGE=40°.即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.所以,∠DEB=30°.例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.试求:∠DEB的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=
4、CB=CF.∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.例4.如图，已知在
5、等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。思路点拨：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以∠1＝∠ABC又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）例5.如图，在△ABC
6、中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．思路点拨：根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．证明：∵∠ABC的平分线交AC于D，∴∠FBE=∠CBE，又BE=BE，∵BE⊥CF，∴∠BEF=∠BEC，∴△BFE≌△BCE（ASA），∴CE=EF，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠FAC=∠B
7、AC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠FBE=∠CBE=22.5°，∴∠F=∠ADB=67.5°，又AB=AC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD=CF，∴BD=2CE．例6.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长思路点拨根据题意先证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得BD=OD，CE=EO，根据已知△ADE的周长为10cm，再加上BC的长即可得△ABC的周长．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠
8、DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴BD=OD，CE=EO（等
