第十三章 因子分析

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1、第十三章因子分析第一节因子分析的概念和原理一、因子分析的概念和作用最早由英国心理学家C.E.斯皮尔曼提出。因子分析基本思想：依据相关性将相同本质的变量即相关性较高的变量归为一类，提炼出为因子，不同类的变量之间相关性则较低。因子分析就是要在许多变量中找出隐藏的具有代表性的因子，从而构造因子模型，是研究从变量群中提取共性因子的统计技术。因子分析的用途：（1）数据简化和归纳，将庞杂的存在相关关系的变量简化为少数几个独立的综合变量。（2）找出能够揭示事物相关关系的潜在变量。（3）简化因子便于之后的回归分析、聚类分析等。二、因子分析的基本思路

2、因子分析的基本思想是将相关性较高的变量归纳提炼出一个因子。假设只有两个变量，通过散点图发现二者呈现线性关系，可以拟合一条回归线对线性关系进行总结。这条回归线就抓住了这两个变量中的本质/共性东西，回归线所代表的变量就是因子。这个新因子的值/得分就可在以后的数据分析中代表原有两个变量。新因子实际上是两变量的线性结合。如何寻找因子？变差最大的原则，即在所有数据中提取一条能够解释最大变差的回归线，当找到这条线/因子之后，继续在剩余的变差中提取解释最大变差的因子，一直下去，最后仅剩下很小的随机变差。如果扩展到三个乃至n个变量，即在n维空间里寻

3、找回归平面/因子。第二节因子分析模型设m个可能存在相关关系的观测变量z1,z2,……,zm(经过标准化后)含有p个独立的公共因子F1,F2,……,Fp(m≥p)，观测变量zi含有独特因子Ui(i=1…m)，诸Ui间互不相关，且与Fj(j=1…p)也互不相关，每个zi可由p个公共因子和自身对应的独特因子Ui线性表出：(模型1)用矩阵表示：简记为（模型2）其中：(1)p≤m；(2)F与U不相关；(3)F1,……FP不相关，且方差皆为1，均值皆为0；(4)U1,……,Um不相关，且都是标准化的变量。A称为因子负荷矩阵(即aij的矩阵)，a

4、ij表示第i个变量zi在第j个公共因子Fj上的负荷，简称因子负荷。第i行的因子负荷量ai1,ai2,…,aip说明了第i个变量zi依赖于各个因子的程度；第j列的因子负荷量a1j,a2j,…,amj则说明了第j个因子与各个变量的联系程度，常常根据该列负荷中绝对值较大的负荷所对应的变量，来说明该因子的意义并命名。因子模型与回归模型的区别：因子负荷系数对应回归系数；自变量为不可观测隐性变量对应可观测显性变量；自变量个数已知对应个数未知；自变量可能相关对应相互独立。每一个因子也可以表示各观测变量的线性组合：Fj=Wj1Z1+Wj2Z2+Wj

5、3Z3+….+WjmZmWj1：权重或因子得分系数，用于计算因子得分。因子分析的目的之一就是通过模型1或2，以F代Z，由于一般有P＜m，从而达到简化变量维数的愿望。第三节因子分析步骤一、形成问题确定因子分析目的。基于过去的研究、理论和主观判断确定调查变量（最好定距层次以上）；选择合适的样本量（至少是变量数的四至五倍）。二、基于原始数据构造相关矩阵用Bartlett'stestofsphericity检验原始变量之间是否相关，检验值越大越好。或者用Kaiser-Meyer-Olkin(KMO)作检验，检验值越大越好，通常大于0.5为宜

6、。检验值越大说明因子分析越合理和有意义。下表中两种检验结果都为显著，说明该例适宜用因子分析。三、确定因子分析方法主成分分析法和主因子分析法。主成分分析使用变量的总方差，主因子分析只使用一个变量与其他变量所共有的方差即协方差。主成分解释了变量的总方差，主因子解释了协方差。当主要目的是要减少变量时，采用主成分分析；如为了寻找对协方差有贡献的潜在因子，则用主因子分析。主成分分析法较主因子分析法更为常用，但人们却更习惯称呼因子分析。大多情况下，两种方法的结果相似。四、提取因子提取因子原则：按照能够解释方差的大小逐序提取因子。为了简便，将所有

7、变量都转变为方差为1，均值为零的标准化变量，总方差就等于变量的个数。然后，在所有数据中提取一个能够解释最大变差的因子，当找到这个因子之后，继续在剩余的变差中提取变差最大的因子。因子不可能将变量中的所有方差都提取出来，只提取出多个变量所共有的那部分比例。因此，因子也称公因子。公因子（与其他变量所共有）能够解释某个变量方差的比例称为公因子方差（communality），记作h2，等同复相关系数的平方/决定系数。在因子模型中，某变量的公因子方差反映了各个因子对该变量的解释程度，h2越大，说明这些因子对该变量的解释程度越强或该变量对各个因子

8、的依赖程度越强。SPSS会输出公因子方差，如下表，6个变量总方差为6，第一个变量发明数量的公因子方差为0.926，即公因子能够解释发明数量方差的92.6%，可以用公因子来描述数学成绩变量。表totalvarianceexplained