12抽屉原理的一般表述

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1、第十二讲抽屉原理的一般表述　　我们知道，把3个苹果随意放进两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两上或两个以上的苹果.如果把5个苹果放进两个抽屉里，上述结果当然还能成立.能不能有更强一点的结果呢？我们发现把5个苹果往两个抽屉里放，即使每个抽屉都放2个还剩1个苹果，这个苹果无论放到哪个抽屉里都会出现有一个抽屉里有3个苹果.同样，如果苹果个数变为7个，那么就可以保证有一个抽屉里至少有4个苹果了。　　这里有什么规律呢？　　先将苹果平均分到各个抽屉里，如果至少还余1个苹果，那么多余的苹果无论再放入哪个抽屉中都可以保证至少有一个抽屉

2、里有（商+1）个（或更多的）苹果。　　这样，可得到下述加强的抽屉原理：　　把多于m×n个苹果随意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有（m+1）个或（m＋1）个以上的苹果。例1①求证：任意25个人中，至少有3个人的属相相同.②要想保证至少有5个人的属相相同，但不能保证有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？分析与解答①把12种属相看作12个抽屉。　　因为25÷12=2…1，　　所以，根据抽屉原理，至少有3个人的属相相同。　　②要保证有5个人的属相相同，总人数最少为：　　4×12+1=49（人）。　　不能保证有

3、6个人属相相同的最多人数为：　　5×12=60（人）。　　所以，总人数应在49人到60人的范围内。例2放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球.有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿1个球，至多拿2个球.问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？分析与解答拿球的配组方式有以下9种：　　｛足｝，｛排｝，｛篮｝，｛足，足｝，｛排，排｝，｛篮，篮｝，｛足，排｝，｛足，篮｝，｛排，篮｝。　　把这9种配组方式看作9个抽屉。　　因为66÷9=7…3，　　所以至少有7＋1＝8（名）同学所拿的球的种类是完全一样的。例3一副扑克

4、牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证①至少有5张牌的花色相同；②四种花色的牌都有；③至少有3张牌是红桃。分析与解答一副扑克牌有四种花色，每种花色各13张，另外还有两张王牌。　　①为了“保证”5张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况去分析，即先摸出了两张王牌.把四种花色看作4个抽屉，要想有5张牌属于同一抽屉，只需再摸出4×4+1＝17（张），也就是共摸出19张牌.即至少摸出19张牌，才能保证其中有5张牌的花色相同。　　②因为每种花色有13张牌.若考虑最“坏”的情况，即摸出了2张王牌和三种花色的所有牌共计13×

5、3＋2=41（张），这时，只需再摸一张即一共42张牌，就保证四种花色的牌都有了.即至少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有。　　③最坏的情形是先摸出了2张王牌和方块、黑桃、梅花三种花色所有牌共计41张，只剩红桃牌.这时只需再摸3张，就保证有3张牌是红桃了.即至少摸出44张牌，才能保证其中至少有3张红桃牌。例4平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。分析与解答如果17个点中，任意两点之间的距离都小于1，那么，以这17个点中任意一点为圆心

6、，以1为半径作一个圆，这17个点必然全落在这个圆内.如果这17个点中，有两点之间距离不小于1（即大于1或等于　　1），设这两点为O1、O2，分别以O1、O2为圆心，1为半径作两个圆（如图）.把这两个圆看作两个抽屉，由于任意三点中总有两个点之间的距离小于1，因此其他15个点中的每一点，到O1、O2的距离必有一个小于1.也就是说这些点必落在某一个圆中.根据抽屉原理必有一个圆至少包含这15个点中的8个点.由于圆心是17个点中的一点，因此这个圆至少包含17个点中的9个点.例5把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈

7、，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17。分析与解答把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为a1、a2、a3、…、a10（见图）.相邻的三个数为一组，有a1a2a3、a2a3a4、a3a4a5、…、a9a10d1、a10a1a2共10组。　　这十组数的和的总和为　　（a1＋a2+a3）＋（a2+a3+a4）＋…+（a10+a1＋a2）　　＝3（a1+a2+a3＋…+a10）　　＝3×55=165＝16×10＋5。　　根据抽屉原理这十组数中至少有一组数的和不小于17。　　这道题还可以用下面的方法证明：　　

8、在10个数中一定有一个数是1，设a10＝1，除去a10之外，把a1、a2、…、a9这9个数按顺序分为三组a1a2a3、a4a5a6、a7a8a9.下面证明这三组中至少有一组数之和不小于17。　　因为这三组数之和的总和为　　（a1+a2+a3）＋（a4+a5+a6）+（a7+a8＋a9）　　＝a1+a2+…+a9　　＝2+3+…＋10　　＝54＝3×16+6。