数学物理方程资料

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1、数学物理方程考点一.分离变量法：知识点见课本1.已知初边值问题：（1）求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）；（2）求此初边值问题的解。解：（1）令（1.1），其中不恒零，将其代入方程得到：将该式分离变量并令比值为有：则有：（1.2）（1.3）由原初边值问题的边界条件知：方程（1.3）满足边界条件（1.4）当时，方程（1.3）的通解为，由边界条件（1.4）知：由（1.1）知：，应舍去；当时，方程（1.3）的通解为，由边界条件（1.4）知：同理应舍去；当>0时，则方程的通解为：由边界条件知：即又由　知：，　令，则　即

2、　　，所以固有值为　将其代入通解中，得到固有函数：（２）将固有值代入方程（1.2），可得到此方程的通解：　　　则原初边值问题的形式解为：　　　则：由初始条件　，　知：　　　　原初边值问题的解为：一.特殊方程的边界齐次化：知识点见2.已知初边值问题：将此定解问题的边界齐次化。解：令　　（1），则，，故原初边值问题等价于　　　　　　　　　　　（I）将定解问题（I）边界齐次化，即令将代入（I），则可得到边界齐次化后的初边值问题为：（II）然后用分离变量法求初边值问题（II）得到，将其代入（1）式即可求出。一.能量不等式证明解的唯一

3、性：知识点见3.证明方程的初边值问题解的唯一性。证明：假设此方程有两个不同解，，令，则满足的定解问题为：一维波动方程的能量公式为：　则有：　　　　　　　　由知：０，能量是时间的减函数，又知初始时刻　又有　，且　，则，即有　　，其中为常数．又初始条件为即，此与假设矛盾，故该方程初边值问题解具有唯一性。一.给出物理背景，列出定解问题：4.长度为的均匀细杆的初始温度为，端点保持常温，而在和侧面上，热量可以发散到周围的介质去，介质的温度为，且此杆单位体积内单位时间吸收热量与温度函数成正比，比例为k，且k>0,求杆上温度函数所满足的定

4、解问题。解：杆上温度函数所满足的定解问题为：二.利用傅立叶变换求解柯西问题（初值问题）：5.见课本中“热传导方程柯西问题的求解”，该部分实际上就是一个例题，课后习题没有合适的例子，弄懂此例即可。三.格林函数：6.写出格林函数公式及满足的条件，并解释其物理意义。解：（1）格林函数公式（三维）为：G（M，M）=—g（M，M）其中函数g满足的条件为：式中为区域的边界曲面（2）格林函数的物理意义：在某个闭合导电曲面内M点处放一个单位正电荷，则有它在该导电曲面内一点M处产生的电势为（不考虑电介常数），将此闭合导电曲面接地，又静电平衡理

5、论，则M将在该导电曲面上产生负感应电荷，其在M处的电势—g（M，M），并且导电面上的电势恒等于0，即有=一.调和方程的验证：7.已知极坐标表示的函数，验证其满足调和方程。解：由的表达式知：=ncosn=n(n-1)cosn=-nsinn=-cosn则有+=++=n(n-1)cosn+ncosn+(-cosn)=[n(n-1)+n-]cosn=0即+=0，所以u（r,）满足调和方程二.特征方程的化简：只须掌握二元双曲型方程8.见课本例1。三.求二阶特征方程的的特征方向：9.求方程的特征方向。解：设特征方向为（），则有特征方程为

6、又知，则有：令参数，其中,，则此方程的特征方向为：或一.一维达朗贝尔公式：知识点见课本10.见课本例子。十一.二阶线性偏微分方程的解的渐进性：11.在三大类方程中，哪两类方程具有解衰减性，其衰减的速度如何？答：1.波动方程解的衰减性：（1）初边值问题解及一维柯西问题解不具有衰减性；（2）在初始条件有紧支集时，二维柯西问题解以速度衰减；（3）在初始条件有紧支集时，三维柯西问题解以速度衰减。2.热传导方程解的衰减性：（1）初边值问题以负指数的速度衰减；（2）初值问题以速度衰减，其中n为空间变量的维数。3.调和方程解与时间无关，故

7、其解不具有衰减性。