2018版高中数学人教版a版必修五学案：§2.4　等比数列（一）

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1、2017-2018学年人教A版高中数学必修5学案[学习目标]　1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．知识点一　等比数列的概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推关系在数列{an}中，若＝q(n∈N*)，q为非零常数，则数列{an}是等比数列．思考1　下列数列一定是等比数列的是________．(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；(2)－

2、1，1，2，4，8，…；(3)a1，a2，a3，…，an，….答案　(1)解析　(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….因为＝＝3(n≥1，n∈N*)，所以此数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，….因为＝－1≠＝2，所以此数列不是等比数列．(3)当a＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.∴只有(1)一定是等比数列．思考2　若数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*

3、)，那么{an}是等比数列吗？答案　不一定．当a1＝0时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故{an}不一定为等比数列．82017-2018学年人教A版高中数学必修5学案知识点二　等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±.知识点三　等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，该等比数列的通项公式为an＝a1qn－1．思考1　已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝______．答案　±3解析　∵a3＝a1·q2，∴9＝q2，∴q＝±3，∴a2＝a1q＝±3.思考2　除

4、了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．答案　还可以用累乘法．当n＞2时，＝q，＝q，…，＝q，上述各式相乘得·…＝qn－1，∴＝qn－1，∴an＝a1qn－1(n＞2)，当n＝1时，a1＝a1q1－1，符合上式，当n＝2时，a2＝a1·q2－1，符合上式，∴an＝a1qn－1(n∈N*)．题型一　等比数列的通项公式及应用例1　在等比数列{an}中，(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．解　(1)∵an＝a1·qn－1，∴4·

5、2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝＝＝5，故a1＝5.82017-2018学年人教A版高中数学必修5学案(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{an}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.反思与感悟　a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出

6、a1和q.跟踪训练1　在等比数列{an}中，(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.解　(1)a3＝a1q2＝2，a5＝a1q4＝8，∴q2＝4，∴a1＝，∴a7＝a1q6＝(q2)3＝·43＝32.(2)a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15，∴q2－1＝3，∴q2＝4，∴a1＝1，∴a1＝1，q＝±2，∴an＝a1qn－1＝(±2)n－1.题型二　等比数列的判定与证明例2　已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是

7、首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列{an}是等比数列．证明　由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，∴an＝m2n＋2，∴＝＝m2，∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，∴数列{an}是等比数列．反思与感悟　判断一个数列是不是等比数列的常用方法82017-2018学年人教A版高中数学必修5学案(1)定义法：＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．跟踪训练2　已知各项都

8、为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a