2018版高中数学苏教版选修1-1学案：2疑难规律方法

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1、2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案1　圆锥曲线定义的妙用1．求动点轨迹例1　一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________________．解析　x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则⇒PA－PO＝1

2、．解三角形例2　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以＝＝＝3.答案　3182017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案3．求离心率例3　如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_

3、_______．解析　由椭圆可知AF1＋AF2＝4，F1F2＝2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以AF＋AF＝F1F＝12，所以2AF1·AF2＝(AF1＋AF2)2－(AF＋AF)＝16－12＝4，所以(AF2－AF1)2＝AF＋AF－2AF1·AF2＝12－4＝8，所以AF2－AF1＝2.因此对于双曲线有a＝，c＝，所以C2的离心率e＝＝.答案　例4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的取值范围是___

4、_____．解析　由双曲线的定义有PF1－PF2＝2a.又∵PF1＝4PF2，∴PF1＝a，PF2＝a.在△PF1F2中，应有PF1＋PF2≥F1F2，即a≥2c，∴e≤，又e>1，∴离心率e的取值范围是(1，]．182017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案答案　(1，]4．求最值例5　线段AB＝4，PA＋PB＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是________．解析　由于PA＋PB＝6>4＝AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且

5、a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.答案　例6　已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求PM＋PF的最小值．解　设双曲线的左焦点为F′，如图所示，则F′(－2,0)．由双曲线的定义知，PF′－PF＝2a＝2，所以PF＝PF′－2，所以PM＋PF＝PM＋PF′－2，要使PM＋PF取得最小值，只需PM＋PF′取得最小值，由图可知，当P、F′、M三点共线时，PM＋PF′最小，此时MF′＝2，故PM＋PF的最小值为2－2.2　抛物线的焦点弦性质例1　

6、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明：(1)AB＝x1＋x2＋p；(2)通径长为2p；(3)x1x2＝，y1y2＝－p2；(4)若直线AB的倾斜角为θ，则AB＝；182017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案(5)以AB为直径的圆与准线相切；(6)＋＝.证明　(1)由定义可得AB＝AF＋FB＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.(2)过焦点F(，0)与x轴垂直的直线被抛物线截得的弦长为2p.(3)①当AB⊥x轴时，易得A(，

7、p)，B(，－p)，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，则直线AB的方程为y＝k(x－)，代入抛物线方程y2＝2px，消元得y2＝2p(＋)，即y2－－p2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝.综合①②知，x1x2＝，y1y2＝－2p2.(4)①当θ＝90°时，k不存在，易得A(，p)，B(，－p)，AB＝2p＝＝.②当θ≠90°时，k＝tanθ，直线AB方程为y＝tanθ(x－)，182017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案联立方程组，由根与系数的关系

8、，得AB＝p＋x1＋x2＝.(5)如图，MM1＝＝＝，故以AB为直径的圆与准线相切．(6)∵AF＝x1＋，BF＝x2＋，∴＋＝＋＝＝＝＝＝.例2　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．证明：(1)若AO交准线于C，则直线CB平行于抛物线的对称轴；(2)过B作BC⊥准线l，垂点为C，则AC过原点O.证明　(1)设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.182017-2018学年