2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：1.2.2　充要条件

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案1.2.2　充要条件[学习目标]　1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点一　充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作_p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.思考　(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？(2)“p是q的充

2、要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案　(1)正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.知识点二　常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也

3、不必要条件q是p的既不充分也不必要条件知识点三　从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件52017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x

4、p(x)成立}，q：B＝{x

5、q(x)成立}.题型一　充要条件的判断例1　(1)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞

6、y

7、”的(　

8、　)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　分别判断x＞y⇒x＞

9、y

10、与x＞

11、y

12、⇒x＞y是否成立，从而得到答案．当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞

13、y

14、不成立；若x＞

15、y

16、，因为

17、y

18、≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞

19、y

20、的必要而不充分条件．(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sinA>sinB；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：

21、x

22、>3，q：x2>9.解　①在△ABC中，显然有∠A

23、>∠B⇔sinA>sinB，所以p是q的充要条件.②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.③由于p：

24、x

25、>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.反思与感悟　判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.(2)

26、集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p52017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.跟踪训练1　(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)A.ab＝0B.ab>0C.a2＋b2＝0D.a2＋b2>0(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________.答案　(1)D　(2)a<－1解析　(1)a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a

27、，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.(2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点.故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1.题型二　充要条件的证明例2　求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.证明　①必要性：若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则⇒即解得k<－2.②充分性：当k<－2时，Δ

28、＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，∴x1－1>0，x2－1>0.∴x1>1，x2>1.综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.反