浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理

《浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、浅谈用向量法证明立体几何中的几个定理15号海南华侨中学（570206）王亚顺摘要：向量是既有代数运算又有几何特征的工具，在高中数学的解题中起着很重要的作用。在立体几何中像直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，而用向量法很容易证明这些定理。关键词：向量法直线平面平行垂直立体几何在高中阶段我们学习了平面向量与空间向量的基本知识，而向量本身既可以进行代数运算又含有几何特征，这是很典型的知识，促使其在代数或几何方面都可以得到很好的应用，因此，在解题方面我们运用向量知识及本身含有的运算去解决问题的方法，我们称为向量法。即向量法既能解决

2、代数问题也能解决几何问题。立体几何是我们高中学习的一个难点，关键在于其抽象性及理解定理的基础上灵活运用，抽象性在此就不多言了，我们来谈下定理的问题。在高中人教A版的第二章《点、直线、平面之间的位置关系》中，对于直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定等定理都没有给出证明，课本中只是探究说明，让学生体会而得到。如果能给出证明，就能够很好地体现定理的严密性，在此可以用向量法来证明。下面我们就用向量法证明这些定理，先介绍一些向量知识及相关定理。定义1两个向量与的长度与他们之间的夹角的余弦的乘积称为与的数量积。记为。特别地，若非零向量与垂直，即，则【1】定

3、义2空间任意两个向量与的向量积是一个向量，记为（或）。它的模为，其中为向量与之间的夹角，它的方向与和都垂直，并且按向量、、这个顺序构成右手坐标系【2】。如图1图1定理1两个向量与共线的充分必要条件是。【3】定义3给定空间的三个向量、、，如果先做前两个向量与的向量积，再做所得向量与第三个向量的数量积，最后得到的这个数叫做三个向量的混合积。记作或者。【4】定理2轮换混合积的三个因子，并不改变的它的值，对调任何两个因子要改变混合积的符号，即。【5】下面我们用以上的向量知识证明立体几何的几个定理。直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

4、。已知：如图2，证明：。αbaαabaooc图2图3分析：在平面内找到一直线，证明即可。证明：如图3，在平面内的直线上取一点，过点作一直线与直线交于点；设直线、、上分别有非零向量、、。根据定理2，有，即与垂直。直线与平面的垂线垂直，又直线在平面外，。证毕平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行。已知：如图4，证明：。abaβPmPβbcαdα图4图5分析：证明平面内任一条直线都平面平行即可。证明：如图5，设直线为平面内任一条直线，在平面内取两条相交直线与，又设直线、、、、上分别有非零向量、、、、。由于、是平面内两条不共线的向量，则由

5、平面向量基本定理可知，。即直线与平面平行，又直线为平面内任一条直线。。证毕直线与平面垂直的判定定理一条直线与一平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。已知：如图6，证明：。lPαabcPαbla图6图7分析：由线面垂直定义，直线垂直于平面内任一条直线。证明：如图7，设直线为平面内任一条直线，又设直线、、、上分别有非零向量、、、。由于与是平面内两个不共线的向量，由平面向量基本定理，有。即直线与直线垂直，又直线为平面内任一条直线，由线面垂直定义可知。证毕用向量法证明立体几何中的直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定等定理，解题思路清晰、过程

6、简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果，体现了向量法解决几何问题的优越性。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。参考文献：【1】王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出版社，1999年9月，107；【2】王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出版社，1999年9月，110；【3】王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出版社，1999年9月，110；【4】王仁发，编著，《代数与解析几何》东北师范大学出版社，1999年9月，116；【5】王仁发，编著，《代数

7、与解析几何》东北师范大学出版社，1999年9月，117；