第1章 质点运动学

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1、第1章质点运动学一、目的与要求1、确切理解描述质点运动及运动变化的基本物理量；掌握位置矢量、位移、速度、加速度的定义及性质，明确这些物理量的矢量性、相对性和速度、加速度的瞬时性。2、熟练掌握质点运动学两类问题，即用微分方法由已知的运动学方程求速度、加速度；用积分方法由已知质点的速度或加速度求质点的运动学方程。3、熟悉和掌握在几种常用坐标系（直角坐标系、自然坐标系、极坐标系）下速度、加速度的表达形式。4、掌握圆周运动的角量表示及角量与线量之间的关系。5、掌握速度、加速度变换式，并会运用变换式求解质点相对运动问题。二、内容提要1、确定质点位置的方法：确定质点运动首先要确定参考系，在

2、确定的参考系中，确定质点位置的方法主要有坐标法、位矢法和自然法。2、运动学方程：表示质点位置随时间变化关系用直角坐标表示用极坐标表示用自然坐标表示3、质点的位移、速度和加速度位移：速度：加速度：在直角坐标系中15在极坐标系中在自然坐标系中4．圆周运动运动学方程（角位置）：角位移：角速度：角加速度：线量与角量的关系：5．运动学的两类问题（1）已知，求，等——微分（2）已知和，，求运动学方程——积分6．相对运动一质点相对于两个相对平动参考系的速度间关系为15加速度变换关系为三、例题1－1在平面上运动的某质点，运动方程为，，式中，为正的常量。此运动轨道为一摆线：即当一个半径为的轮子沿

3、x轴无滑动地滚动时，轮边缘一点所画出的曲线。a）试定性地画出此质点的轨迹。b）试求当y达到最小值时质点的速度和加速度。c）试求当y达到最大时质点的速度和加速度；d）试求当y达到最大值时质点的速度、加速度、切向加速度、法向加速度和轨道的曲率半径。分析对运动学方程，求导即可求解质点的速度、加速度。由直角坐标系下的速度可求切向加速度，法向加速度即为，再由最后可求出曲率半径。解a)质点运动轨迹如图所示。b)由运动方程可知质点的速度、加速度分别为：当为最小值，即：时，，即，（k为整数），因而。因而此时：即，，此即相当于轮边缘一点接触滚动，而，说明是纯滚动。c)当达最大值，即时，，因而。所

4、以此时15即，d)当达到最大值时，由上问结果可知，，曲率半径：，此即相当于轮边缘一点运动到最高点的轨迹曲率半径，它并不等于轮半径R。说明此题是运动学第一类问题，即已知运动学方程求速度、加速度。特别应注意的是在直角坐示系下求出质点的速度和总加速度下，质点在自然坐标下的切向加速度可由求出，而法向加速度由即可求出。虽然质点运动的曲率半径可通过轨迹方程求出，但由求曲率半径是此类问题中通常采用的方法。１－２一质点沿半径为的圆周按规律运动，其中、都是正常数，求①时刻质点的总加速度。②什么时刻质点的总加速度大小等于。③当加速度达到b时,质点沿圆周运行了多少圈？分析由质点在自然坐标系下的运动学

5、方程求导即可求出质点运动速度，因而，，，当时，可求出此时的时间，代入运动学方程可求得当时质点运动的路程，即为质点运动的圈数。解①根据质点的运动学方程，可知质点圆周运动的速度为在自然坐标系下，质点的切向、法向加速度分别为因而质点的总加速度大小为15②当质点的总加速度等于时，即由上式可解得③由上式知：当加速度等于时，，此时质点运行的路程质点作圆周运动，因而其运行的总圈数为说明本题是自然坐标系下的运动学第一类问题，正确掌握自然坐标系下质点的速度、加速度定义就可求解本题，特别应注意的是，在一定条件下，也可写成，而不是。1－3一质点以初速度作直线运动，所受阻力与其速度成正比，试求当质点速

6、度为时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。分析对加速度积分求出，再积分求出。质点所能行经的总距离对应；当由速度关系得速度为时所需时间，以此时间由即可得到速度为时，质点行经的距离，进而可求二者之比。解法一质点沿直线运动，取该直线为坐标，由题意质点的加速度为（k为大于零常数）分离变量依题意，初始条件为时，积分上式15得(1)又，即初始条件为，，积分上式得(2)由上式知，当，即可求得质点所能行经的总距离设经时间后，质点的速度降为，由（1）式可得：代入（2）式，即可得则两距离之比为解法二质点加速度为作变量替换有即依题意，初始条件时，积分上式15得(3)显然，当时，，故。当时，，

7、故。从而两距离之比为说明本题为运动学第二类问题，由质点的加速度积分可得，，如解法一，当涉及到质点的速度与距离的关系，由积分变量变换通过积分也可求解本题，如解法二。本题不涉及时间，故选择解法二较简单。1－4质点运动轨迹是半径为的圆，在时的自然坐标为，速度为（如图），若保持加速度方向与速度方向之间的夹角不变，求当时质点运动速度的大小。分析解本题关键在于得到速度与路程的关系。为常量，而，对圆周运动，由此可得速度与时间的微分关系，通过积分变量替换即可得与的微分关系。解在自然坐标下，质点的切向、法向加