杆的横向尺寸对其 纵向共振频率的影响

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1、杆的横向尺寸对其纵向共振频率的影响刘世清(南华大学南校区基础课部物理教研室湖南衡阳 421001)  摘 要 利用能量法讨论了均匀弹性杆的横向尺寸对其纵振动的影响,并给出了计及横向效应一端固定一端自由的杆纵向共振频率的修正公式。关键词 弹性杆;能量法;径向振动;共振频率中图分类号:O321 文献标识码:A 文章编号:1003-7551(2000)04-0018-031 引言关于均匀弹性杆纵振动的共振频率,一般文献都忽略其横向影响而作为纯一维问题来处理。事实上,由于泊松效应,弹性杆在纵振动过程中其截面还会变形,杆作纵向形变振动时,其中质点除作轴向纵振动外,同时还可作沿半径方向的径向振动

2、,即所谓纵横振动。这种纵振动的横向效应必将引起附加的径向振动动能,从而会改变弹性杆的振动惯性,进而影响杆中纵振动的传播。如纵波波速、固有频率等。而且这种附加效应与弹性杆的横向尺寸有关。本文运用Rayleigh能量法导出了这一关系。2 径向振动附加动能沿半径方向的振动对纵振动的影响,可从振动能量的变化来分析。由于杆中质点作纵振动的同时作径向振动,使系统的振动动能发生某种变化,动能的变化,将改变系统的振动惯性。为此,可以通过计算质点径向振动的附加动能,再求其对应的附加等效质量,然后求弹性杆的总等效质量,即可求出杆的纵向共振频率。首先作如下约定:1)杆中传播的是平面波,即处于同一截面上的质

3、点,振动前后始终处于同一平面上,且纵向位移ur(x,t)与半径方向坐标r无关,即杆无扭转。2)径向应变均匀,径向位移ur(x,t)和弹性杆半径R成正比,并假定径向振动和纵向振动频率一致且同相位。图1 杆的径向振动分析18第24卷 第4期         广 西 物 理GUANGXIWULI         Vol.24No.42000现考虑一圆形截面均质弹性杆,其半径为R,长为l。根据以上假定,如图1所示,由弹性理论知,杆的径向应变为Err=-LExx=-L5ux(x,t)5x(1)其中Exx为纵向应变,ux(x,t)为纵向位移函数,L为弹性杆的泊松比。由于径向应变均匀,于是杆的径向

4、位移分布函数为ur(r,t)=rErr=-rL5ux(x,t)5x(2)由(2)式对时间微分,得杆的径向振速分布函数为5ur(r,t)5t=-rL52ux(x,t)5x5t=-rL5u#x5x(3)式中u#x=5ux/5t为杆中纵向振速分布函数。假定杆长l,截面积S,体密度Q在小幅纵振动中近似不变,如图1所示,取dx元段,并在杆中取一半径为r薄圆环,元质量dm为dm=QdSdx=Q2Prdrdx由于截面振动位移沿径向对称,因而半径为r薄圆环上各点具有相同的径向位移和振动速度,由(3)式和上式得元质量dm的径向振动动能为dE=12dm(5ur5t)2=12(2PrQdrdx)r2L2(

5、5u#x5x)2=PQL2(5u#x5x)2r3drdx(4)总的径向振动附加动能增量为各元段径向振动动能之和,即为$Ek=kdE=PQL2R0r3drl0(5u#x5x)2dx=PQL2R44l0(5u#x5x)2dx(5)由(5)式可知,只要求得函数(5u#x/5x)2,即可求出杆径向振动的附加总动量。3 杆的纵向共振频率与其横向尺寸的关系以下利用能量法求计及径向振动后杆的纵振动的等效质量。若不计径向振动,杆作纯纵向振动的动能可由下式求出[1]Ek=12QSl0[u#x(x,t)]2dx(6)Rayleigh能量法是一种求系统低阶共振频率的常用方法,但利用能量法求振动系统的共振频

6、率时,必须先求出系统的振型函数或位移分布函数。下面讨论一种常见边界条件下均匀杆纵向共振频率与其横向尺寸的关系。对于一端固定一端自由的杆,其纵振动位移分布函数可写为[2,3,4]ux(x,t)=Asin(2n-12#Plx)cos(Xt+U)      n=1,2,3(7)式中A为振幅,n为振动阶。(7)式对时间t微分,得杆中纵向振速分布函数表达式为u#x(x,t)=-XAsin(2n-12#Plx)sin(Xt+U)      n=1,2,3(8)由(5),(6),(8)三式分别可求得$Ek=12QSlL24[(2n-1)P2]2(Rl)2X2A2sin2(Xt+U)    n=1,

7、2,3(9)19第4期          杆的横向尺寸对其纵向共振频率的影响