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1、2011年全国高中数学联赛全真模拟（第二套）北京清北学堂内部资料（清北学堂教研部特邀湖北省竞赛相关老师命制，内部资料，禁止翻印。）一：填空题（每题8分，共8题）1．已知，定义，则；2．在数列中，＝2，，设为数列的前n项和，则的值为 3、已知实数满足，，则与的大小关系为.4、设函数，定义，其中，且，则=.5、设为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是.6.求和：=（其中表示不超过的最大整数）.7、扔6次股子，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互
2、质的正整数，则=.8、斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且.则P点的轨迹方程是____________________．二：解答题：（第9题16分。20，21题20分）。第9页共9页13、设为实数列，满足，其中.求证：当时，.14、设椭圆的焦点，为过焦点的弦，满足，求“蝶形”面积的最大值和最小值.15、设函数（1）若与在同一个值时都取得极值，求的值.（2）对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，恒有①的表达式；②的最大值及相应的值.二试一、（满分40分）一.设M为凸四边形ABCD内部一点
3、，MA=MC，∠AMB=∠MAD+∠MCD，∠CMD=∠MCB+∠MAB，求证：AB•CM=BC•MD，BM•AD=MA•CD二．（满分40分）设T为所有n元数组(x1,x2,…,xn)的集合，xi=0,1(i=1,2,…,n)，n=2k-1,k≥6,k∈Z,对于T中的x=(x1,x2,…,xn)与y=(y1,y2,…,yn),令d(x,y)为满足xj≠yj(1≤j≤n)的j个数,特别地，d(x,x)=0，设有一个T的具有2k个元素的子集S，具有以下性质：对T的任何一个元素x，S中有唯一的元素y满足d(x,y)
4、≤3，求n之值。三、（满分50分）设,求证:.四．（满分50分）已知数列{an}定义如下：a0=4，a1=22，an=6an-1-an-2(n≥2)；数列{bn}定义如下：b0=2，b1=1，bn=2bn-1+bn-2(n≥2)，证明：存在正整数列{xn},{yn}，使得(n≥0)2011年全国高中数学联赛全真模拟（第二套）答案第9页共9页1.解：计算可知是最小正周期为６的函数。即得，所以＝.2.解：当n为偶数时，，故 当n奇数时，，，故 故.3、假设。则，。所以，。即因为和均为减函数.且，从而，与矛盾.4、当
5、时，，，故.5、由对称性，不妨设，以为直径的圆的方程为.联立，消去，.由题设知在上有解，第9页共9页注意到，有故6、先考虑，其值为再考虑它们的整数部分的和，在上面的和式中，任何一项都不是整数，但任何相邻两项的和是整数（因为），注意到两个非整数的和为整数，则它们的整数部分的和比它们自身的和小1.因此，.7、1当时，概率为；当时，，概率为；当时，，概率为；当时，，概率为；当时，，概率为；当时，概率为；故，则，从而8、轨迹是：提示：设动点为，则过.代入椭圆方程,整理得：(※)若直线椭圆交于，，则是方程(※)的两个根,
6、且第9页共9页①②又∵，∴.将①、②代入并整理得：（）13、证明：对，由得，⑴而，⑵由⑴、⑵有即，于是所以当时，.14、以为极点，为极轴，则椭圆的极坐标方程为（为离心率，为焦点到相应准线的距离）设，则.于是，所以设，，则.再设，，则第9页共9页注意到上式在上单调递增，当时，“蝶形”面积的最大值为，当时“蝶形”面积的最小值为.15、⑴易知，在时取得极值.，由题意得，解得.⑵①由，，知.当，即时，要使，在上恒成立，而要最大的，所以只能是方程的较小根.因此，.当，即时，同样道理只能是方程的较大根，.综上得②当时，；当
7、时，.故当且仅当时，有最大值.二试答案一.设M为凸四边形ABCD内部一点，MA=MC，∠AMB=∠MAD+∠MCD，∠CMD=∠MCB+∠MAB，求证：AB•CM=BC•MD,BM•AD=MA•CD证明：构造凸四边形PQRS和其内一点T，使得△PTQ≌△AMB，△RTQ≌△DAM，第9页共9页ABCDM△PTS∽△CMD，如图所示PT=MA=MC,TS==MD,又，TQ=MB，故，因∠STR=∠BMC,故△RTS∽△BMC,从而∠QPS+∠RSP=∠QPT+∠TPS+∠TSP+∠TSR=∠MAB+∠MCB+∠T
8、PS+∠TSP=∠CMD+∠TPS+∠TSP=∠PTS+∠TPS+∠TSP=180o；同理∠RQP+∠SPQ=180o，所以凸四边形PQRS为平行四边形，即PQ=RS,QR=PS,所以AB=PQ=RS=；CD=二．设T为所有n元数组(x1,x2,…,xn)的集合，xi=0,1(i=1,2,…,n)，n=2k-1,k≥6,k∈Z,对于T中的x=(x1,x2,…,xn)与y=(y1,y2,
