椭圆的五种画法及各种弦的制作(很不错的几何画板教程)

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1、椭圆的画法和性质一．椭圆的定义：1．在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。2．椭圆的标准方程：设M(x,y)是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，则如图建立直角坐标系，又F1、F2的坐标分别是F1(－c,0),F2(c,0)，若M点与F1、F2两点的距离的和等于2a(a>c>0)，则

4、MF1

5、＋

6、MF2

7、＝2a,∴,图9－1整理化简，并且设b2＝a2－c2得椭圆的标准方程.3．椭圆的第二定义：设动点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线:x＝的距离的比是常数(a>c>0)，

8、则点M的轨迹是椭圆。点F是椭圆的一个焦点，直线是椭圆中对应于焦点F的准线。常数e＝(0b>0)为半径作两个圆，点A是大圆上的一个点，点B是OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，当点A在大圆上运动时，M点的轨迹是椭圆。设点M的坐标是(x,y)，φ是以Ox为始边，OA为终边的正角，取φ为参数，那么x＝

9、ON

10、＝

11、OA

12、cosφ＝acosφ,y＝

13、NM

14、＝

15、OB

16、sinφ＝bsinφ,图9－3∴椭圆的参数方程是(φ是参数).二．椭圆的画法：图9－4画法1：61．在x轴上取两

17、点F1、F2，使

18、OF1

19、＝

20、OF2

21、，用它们作为两个焦点；2．在图形外作一条线段CD，使

22、CD

23、＝2a，(

24、CD

25、>

26、F1F2

27、)；3．以O为中心，在x轴上取两点A1、A2，使

28、A1A2

29、＝

30、CD

31、；4．在CD上分别取C'、D'，使

32、CC'

33、＝

34、A1F1

35、＝

36、DD'

37、；作线段C'D'，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C'D'上作点M；5．分别以F1、F2为圆心，用

38、CM

39、、

40、MD

41、为半径作圆，两圆相交于P1、P2两点；同样方法分别以F1、F2为圆心，用

42、DM

43、、

44、CD

45、为半径作圆，两圆相交于P3、P4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M、点P1(或点M、点P2)，用

46、“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。理论根据：点P1是两圆的交点，∴点P1到F1与F2的距离的和等于两圆的半径和,即

47、PF1

48、＋

49、PF2

50、＝

51、CM

52、＋

53、MD

54、＝

55、CD

56、＝2a.说明：M点不要直接在CD上取，那样画出来的椭圆将在x轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点M在CD上运动时，一般情况点C'、D'都取不到，于是画出来的图形就不好看了。图9－5画法2：1．在x轴上取两点F1、F2，使

57、OF1

58、＝

59、OF2

60、，用它们作为两个焦点；2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a，(2a>

61、F1F2

62、)；3．以F

63、1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P；4．连接PF1、PF2，作PF2的中垂线与PF1交于点M，连接MF2；5．将点M定义为“追踪点”，分别选中点M、点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。理论根据：点M在PF2的中垂线上，∴

64、MP

65、＝

66、MF2

67、,∴

68、MF1

69、＋

70、MF2

71、＝

72、MF1

73、＋

74、MP

75、＝

76、F1P

77、＝2a.即点M到两个定点F1和F2的距离的和等于定长。点M的轨迹是一个椭圆。画法3：图9－661．在平面中作两条直线，使直线为准线，另一条直线AB与直线垂直；两条直线的交点为C；2．在图形外取两条线段a和c，使a>c；3．计算，在直线AB上取一点F，使

78、CF

79、＝,点F作为椭圆的焦

80、点；4．在线段FC上，取点A，使

81、AF

82、＝a－c,在CF的延长线上，取点B，使

83、FB

84、＝a＋c，作线段AB，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P；5．计算e＝，度量

85、CP

86、的长，计算

87、CP

88、×；6．以点F为圆心，

89、CP

90、×为半径作圆，此圆与过点P且垂直于AB的直线相交于M1，M2两点；7．分别选中点M1和点P(或点M2和点)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：图9－7点M1到点F的距离是

91、CP

92、×，点M1到准线的距离

93、M1D

94、＝

95、CP

96、,∴＝＝e.∴点M1在椭圆上。画法4：1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆;2．在大圆上取一点A，连接

97、OA与小圆交于点B；3．过点A作AN垂直于Ox轴，垂足为N；作BM垂直于AN，垂足为M；4．分别选中点M和点A，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：

98、ON

99、＝acosφ,

100、NM

101、＝bsinφ,根据椭圆的参数方程知，点M的轨迹是一个椭圆。画法5：1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆;2．在大圆上取一点P，过点P作PN⊥Ox轴，垂足为N；3．计算两圆半径的比k＝，定义为