讲评：《点集拓扑》半期复习(1-3)

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1、半期复习主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法。一．研究的思路与成果1．预备知识：（1）集合的三种运算的定义与证明方法：并、交、差：A∪B、A∩B、A-B（2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特点？f（A∪B）＝f（A）∪f（B）f（A∩B）f（A）∩f（B）当f为单射时，取等号f（A-B）f（A）－f（B）当f为单射时，取等号（3）集合的并、交、差运算关于f的原象有什么特点？一句话：保持运算。即：（4）f满时取等号f单时取等号（5）等价关系、等价类的定义，作用等价类是一种分类方法，将等价类看成一个元素，所有这样元素的集合就是原集合的商集。（6）有限

2、集与无限集、可数集与不可数集大不相同。2．拓扑空间（1）度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义。（2）拓扑空间的定义（P51def2.2.1:满足三条性质）拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间（是所有数学空间的交集）它只具有开集。（3）模仿实数空间，在拓扑空间中引进类似实数空间的性质。定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集定义了连续映射，并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题。（4）模仿高等代数，给出了基的概念。（5）定义了序列及极限点。思路：模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质。同时也剖析了实数空间，使我们对实数空间的认识更深刻。因此，我们在研究各种性质时，应不

3、断探讨：R中是否具有这种性质？与R中的相应性质有何区别？3．从拓扑空间构造新的拓扑空间（1）子空间的定义，子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构。（2）积空间及其基、子基的概念。（3）商空间、商拓扑、商映射的定义（4）投射、自然投射的一些性质（Th3.2.6;Th3.2.7;Th3.3.2,Th3.3.3）二．常见证明方法1．证明集合包含相等2．证明连续映射：反射开集、闭集、邻域3．证明开集：定理2.3.1。在连续映射下，是否是开集的原象？开映射下，是否是开集的象？4．证明基：定义及定理2.6.25.证明凝聚点;U证明不是凝聚点:U证明闭包:U6.证明序列收敛于x,用定

4、义;证明序列收敛,用反证法.U7.常在一个集合关系式的两边同取f、、闭包等8．常用反证法