玲珑画板课题研究-异面直线间的距离-大道至简

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1、异面直线间的距离-大道至简网上看了些课件及解题方法，个人感觉有些负担。方法多了，反而让学生找不到方法，大道至简，简单才好。针对网上这篇文章《异面直线间的距离（高中全部8种方法详细例题）》，提出我的看法，供参考交流。可以先看看后面附录的这篇文章。网上这篇文章归纳了八种方法，细节也很到位，但转身思考：这样的课听起来很容易听懂，但要融会贯通，却会让人找不着北。我们如何记住这八种方法，在什么时候用？怎么用？公式怎么记得住？坐标系如何建立？如此等等，做为一名数学老师，我都觉得很累。我们解题的目的是什么？我们分析问题能力得到了提高么？

2、我们的空间想象能力真正培养起来了么？看了网上这篇文章的这么多解题方法，颇感困惑。大道至简，解异面直线间的距离问题，我的思路只有一条，就是找平行：过一条线a做另一条线b的平行面，转化为线面平行，常常运用等体积法求得线上一点到面的距离。如果不行，找面面平行。下面就各题对比提出我的思路。例1已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。思路：过AE找出一平面平行CD。易知CD‖平面AEF，过D作DH垂直AE于H，易知DH就是线CD到面AEF的距离。例2如图，BF、AE两条异面直线分

3、别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。思路：过B做AE的平行线，转化为线面平行，AE‖平面BEH通过条件，做AC⊥AB交BE于C，再在BH上任取一点D，构造出BCD平面。通过等体积法求得A点到平面BCD的距离。例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS与BC的距离。思路：用割补法将模型放入长方体中，转化为求两平行平面的距离。例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求A1B与D

4、1B1的距离。思路：连接DB，D1B1‖平面A1DB，可通过等体积法求得D1到面A1DB的距离h。SA1D1D*AB=SA1DB*h也可再执行第二步，<转化为面面平行>通过等体积法可以求得A点到面A1BD、C1点到面B1D1C的距离。所以两平面间的距离就是对角线AC1长度减去先前求得的两个长度。例5已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO/之间的距离。思路：过B点做轴OO/的平行线，易知OO/‖平面BMA，转化为线面的距离。例6在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

5、AB=1，M、N分别是棱AB、CC1的中点，E是BD的中点。求异面直线D1M、EN间的距离。思路：要转化为线面平行，确实不易，是否可以找出分别过这两条线的平行平面。因为是中点，可以连接BC的中点Q，易做出两个平行平面。例7已知：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。思路：<此题与例4相同>例8：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．思路：易做出平面AMC‖SB转化为线面距离。再进一步做OH⊥SB，OH即是线面距离。由等体积法可求

6、OH。SAHC*(SH+HB)=SABC*SO<附网上下载文章>异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。常用方法有：1、定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1定义法就是先作出这两条异面直线的

7、公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。例1已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂线。在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，DH=。即异面直线CD与AE间的距离为。2垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记a/与b确定的平面α。从

8、而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。例1如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，A