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时间:2018-08-05
《圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线外一点的任一直线与抛物线的两个交点为C、D,与抛物线切点弦AB的交点为Q。(1)求证:抛物线切点弦的方程为;(2)求证:.2.已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N,且(1)动点N的轨迹方程;(2)线l与动点N的轨迹交于A,B两点,若,求直线l的斜率k的取值范围.3.如图,椭圆的左右顶点分别为A、B,P为双曲线右支上(轴上方)一点,连AP交C1于C,连PB并延长交C1于D,且△ACD与△PCD的面积相等,求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.
2、4.已知点,动点满足条件.记动点的轨迹为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)若是上的不同两点,是坐标原点,求的最小值.5.已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈R)(Ⅰ)若曲线C是椭圆,求k的取值范围;(Ⅱ)若曲线C是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程;(Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P,Q关于直线l:y=x-1对称,若存在,求出过P,Q的直线方程;若不存在,说明理由。6.如图(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:(1)求点P的轨迹方程;(2)若,求点P的坐标.7.已知为椭圆的右焦点,直线过点且与双
3、曲线的两条渐进线分别交于点,与椭圆交于点.(I)若,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。(II)若(为坐标原点),,求椭圆的离心率。8.设曲线(为正常数)与在轴上方只有一个公共点。(Ⅰ)求实数的取值范围(用表示);(Ⅱ)为原点,若与轴的负半轴交于点,当时,试求的面积的最大值(用表示)。1.(1)略 xyO(2)为简化运算,设抛物线方程为,点的坐标分别为,点,直线,一方面。要证化斜为直后只须证:由于 另一方面,由于所以切点弦方程为:所以 从而 即 2.(1)设动点N的坐标为(x
4、,y),则…………………2分,因此,动点的轨迹方程为……4分(2)设l与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),当l与x轴垂直时,则由,不合题意,故与l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由…6分由点A,B在抛物线又y2=4x,y=kx+b得ky2-4y+4b=0,……………………8分所以……10分因为解得直线l的斜率的取值范围是.………………………………………………………………12分3.由题意得C为AP中点,设,把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得解之得:故直线PD的斜率为,直线PD的方程为联立,故直线CD的倾斜角为90°4.
5、解法一:(Ⅰ)由
6、PM
7、-
8、PN
9、=知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支,实半轴长又半焦距c=2,故虚半轴长所以W的方程为,(Ⅱ)设A,B的坐标分别为,当AB⊥x轴时,从而从而当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故所以.又因为,所以,从而综上,当AB⊥轴时,取得最小值2.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设A,B的坐标分别为,则,,则令则且所以当且仅当,即时””成立.所以的最小值是2.5.(1)当k=0或k=-1或k=4时,C表示直线;当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为即是010、+m方程(2)的△>0,∴存在满足条件的P、Q,直线PQ的方程为6.(1)由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴b=,所以椭圆的方程为(2)由得①因为不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在△PMN中,②将①代入②,得故点P在以M、N为焦点,实轴长为的双曲线上.由(1)知,点P的坐标又满足,所以由方程组解得即P点坐标为7.解:(I),是直线与双曲线两条渐近线的交点,,即………………2分双曲线的焦距为4,……………………4分解得,椭圆方程为…………5分(II)解:设椭圆的焦距为,则点的坐标为,直11、线的斜率为,直线的斜率为,直线的方程为…………………………………………7分由解得即点设由,得即……10分。点在椭圆上,………………………………12分,椭圆的离心率是。8.(Ⅰ)由,……①设,则问题(Ⅰ)转化为方程①在区间上有唯一解:①若,此时,当且仅当,即适合;②若,则;③若,此时,当且仅当,即时适合;若,此时,但,从而。综上所述,当时,或;当时,。(Ⅱ)的面积是。因为,所以有两种情形:①当时,,由唯一性得。显然,当时,取得最小值,从而取得最大值,所以有;②当时,,,此时。因此,有当,即时,;当,即时,。
10、+m方程(2)的△>0,∴存在满足条件的P、Q,直线PQ的方程为6.(1)由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴b=,所以椭圆的方程为(2)由得①因为不为椭圆长轴顶点,故P、M、N构成三角形.在△PMN中,②将①代入②,得故点P在以M、N为焦点,实轴长为的双曲线上.由(1)知,点P的坐标又满足,所以由方程组解得即P点坐标为7.解:(I),是直线与双曲线两条渐近线的交点,,即………………2分双曲线的焦距为4,……………………4分解得,椭圆方程为…………5分(II)解:设椭圆的焦距为,则点的坐标为,直
11、线的斜率为,直线的斜率为,直线的方程为…………………………………………7分由解得即点设由,得即……10分。点在椭圆上,………………………………12分,椭圆的离心率是。8.(Ⅰ)由,……①设,则问题(Ⅰ)转化为方程①在区间上有唯一解:①若,此时,当且仅当,即适合;②若,则;③若,此时,当且仅当,即时适合;若,此时,但,从而。综上所述,当时,或;当时,。(Ⅱ)的面积是。因为,所以有两种情形:①当时,,由唯一性得。显然,当时,取得最小值,从而取得最大值,所以有;②当时,,,此时。因此,有当,即时,;当,即时,。
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