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《川大离散数学习题6》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题61.设A={1，2，3，4}，B=A×A。确定下述集合是否为A到B的全函数或部分函数。(1){(1,(2,3)),(2,(2,2)),(3,(1,3)),(4,(4,3))}.(2){(1,(1,2)),(1,(2,3)),(3,(2,4))}.(3){(1,(3,3)),(2,(3,3)),(3,(2,1)),(4,(4,1))}.解：（1）、全函数（2）、不符合单值（3）、全函数要点：根据全函数定义，X中每个元素x都在Y中有唯一元素y与之对应。2.判别以下关系中那些是全函数。(1){(n
2、1,n2)
3、n1,n2N,0<2n1-n2<5}。(2){(n1,n2)
4、n1,n2N,n2是n1的正因子个数}。(3){(S1,S2)
5、S1,S2{a,b,c,d}且S1S2=Ø}。(4){(a,b)
6、a,bN,gcd(a,b)=3}.(5){(x,y)
7、x,yZ,y=x2}.解：(1){(n1,n2)
8、n1,n2ÎN,0<2n1-n2<5}不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。(2){(n1,n2)
9、n1,n2ÎN,n2是n1的正因子个数}部分函数，n1=0时无定义(3)
10、{(S1,S2)
11、S1,S2Í{a,b,c,d}且S1ÇS2=Æ}不是函数，因为({a},{b}),({a},{c})均在其中。(4){(a,b)
12、a,bÎN,gcd(a,b)=3}不是函数，因为(3,3),(3,6),(3,9)均在其中。(5){(x,y)
13、x,yÎZ,y=x2}全函数3.在§3.1中已经定义了集合的特征函数。请利用集合A和B的特征函数A（x）和B（x）表示出AB，AB，A-B，以及AB对应的特征函数。解：（略）4.试确定在含n个元素的集合上可以定义多少个二元关系，其中有多少个是
14、全函数。解:可以定义nn个二元关系，n！个全函数5.设，证明：。证明：bÎf(A)-f(C)ÞbÎf(A)ÙbÏf(C)Þ($x)[xÎAÙxÏCÙf(x)=b]Þ($x)[xÎA-CÙf(x)=b]ÞbÎf(A-C)所以f(A)-f(C)Íf(A-C)7.设f：XY，A和B是X的子集。证明，证明：（1）y∈f(A∪B)Þ("x)[x∈(A∪B)∧f(x)=y]Þ("x)[x∈A∧f(x)=y]∪("x)[x∈∪B∧f(x)=y]Þy∈f(A)∪y∈f(B)∴f(A∪B)=f(A)∪f(B)（2）
15、y∈f(A∩B)Þ("x)[x∈(A∩B)∧f(x)=y]Þ($x)[x∈A∧f(x)=y]∩($x)[x∈B∧f(x)=y]Þy∈f(A)∩y∈f(B)∴f(A∩B)Íf(A)∩f(B)8.确定下例映射是否单射、满射或双射：（1）f1:NR,f1(n)=n.（2）f2:NN,f2(n)为不超过n的素数数目。（3）f3:NNN,f3(n,n)=(n+1).（4）f4:RR,f4(x)=x2+2x-15.（5）f5:ZZ,f5(x)=1+2x3.（6）A是集合，f6:2A2A2A2A,f6(x,y)
16、=(xy,xy).（7）f7:RRR,f7(x,y)=x+y.F8:RRR,f8(x,y)=xy.解：(1)单射(2)满射，非单。如f(5)=f(6)=3(3)非单,非满。f(0,1)=f(1,0)=1,且f(x,y)=0无解。(4)非单,非满。(5)单,非满。如：1+2x3=5无解。(6)非单:({a}È{b},{a}Ç{b})=({a,b}ÈÆ,{a,b}ÇÆ)非满:(xÈy,xÇy)=({a},{a,b})无解。(7)f7:非单,满，如：f(1,3)=f(2,2)f8:非单,满，如：f(1,
17、3)=f(3,1)9.设X是有限集合，f：XX。证明：(1)如果f是单射时，f必是双射。(2)如果f是满射时，f必是双射。证明：(1).当f是单射时，根据单射定义，对所有任意t,s∈X,当t≠s时f(t)≠f(s),则f(x)中的元素个数与X中的元素个数相同；又∵f:X→X，所以，f(x)是一个满射∴f必是双射。(2)当f是满射时，根据满射定义及f的定义，对所有y∈X，都存在x∈X，使f(x)=y，再根据函数的单值性，对所有t,s∈X,当t≠s时，f(t)≠f(s)。∴f必是双射。10.设f是有限
18、集X上的一个函数，满足xX，f2（x）=x。证明：f是双射。证明：设x,y是有限集X上的2个元素，如果f(x)=f(y),则x=f2(x)=f2(y)=y，说明是单射，由上题结果知f是双射。11.设f:AB，g：B2A，满足bB，g（b）={xA
19、f(x)=b}.证明：当f为满射时g为单射。问g为单射时，f是否必是满射？证：1）对任意b1、b2∈B，且b1≠b2。∵f(x)是满射∴。12.设A和B都是有限集合，试确定A到B有多少个单射？多少个满射？多少个双射？解：设A、B中元素个数
