dip8姚敏 图像处理课件第八章课件

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1、DigitalImageProcessing数字图像处理http://myao99.51.netE-MAIL:myao99@zj.com姚敏1第八章小波图像编码28.1概述3主要内容小波变换离散小波变换多分辨率分析和Mallat算法Matlab中常用小波基介绍小波变换在图像编码中的应用48.2小波变换5一维连续小波给定称为连续小波或分析小波(AnalyzingWavelet)叫基本小波或母小波（MotherWavelet）。其中a是伸缩因子，b为平移因子。定义6一维连续小波变换CWT设

2、a

3、

4、-1/2规范化因子，可使定义是连续小波记则函数的连续小波变换：7基小波或允许小波设则为一个基小波或允许小波。定义是连续小波且满足容许性条件：8允许小波的性质1．小波逆变换存在性且有令是允许小波，对所有有：9允许小波的性质2．能量比例性上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方的积分与信号能量成正比。令是允许小波，对所有有：10允许小波的性质3．正则性p=1可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式成立的n越大越好.令是允许小波，要求其前n阶原点矩为零，且n越大越好，即11小波变换的性质1．

5、线性性如果则12小波变换的性质2．平移不变性如果则13小波变换的性质3．伸缩共变性如果则14小波变换的性质4．自相似性对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。5．冗余性（1）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier变换与反Fourier变换是一一对应的。（2）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。158.3离散小波变换16离散小波尺度离散

6、化：取一个合理的值a0，使尺度因子只取a0的整数幂，即定义位移离散化：当尺度取a0时，取位移b=b0，各位移为k·b0。当时，取，其中固定的。离散小波函数:17离散小波变换离散小波变换：定义改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。18离散小波变换定义令：a0=2，b0=1时，尺度为2j，而位移为2jk即：尺度为2j，而位移为2jk则：二进离散小波：相应的小波变换记：19框架理论定义设存在，对有：则称为一个框架如果A=B，则框架为紧框架有：20框架理论框架算子定义称T为框架算子如果是框架有线

7、性算子：I恒等算子21框架理论对偶框架定义则也是框架，且其框架界为B-1和A-1称是的对偶框架设是框架令：22框架理论对偶框架算子可以得到：设对偶框架的框架算子则：238.4多分辨率分析和Mallat算法24多分辨率分析则空间集合称为依尺度函数的多分辨率分析定义若下列条件成立：(1)嵌套性：(2)稠密性：(3)分立性:(4)尺度性:(5)Riesz基存在性:中一系列嵌套函数子空间序列构成V0的Riesz基且25小波分解和重建{Vk}一个多分辨分析,{Wk}是{Vk}关于{Vk+1}的补空间则：对分解2

8、6小波分解和重建双尺度方程令：则：分解27小波分解和重建由：推广得：分解28小波分解和重建由于,分别是对应空间的Riesz基：所以(a)分解29小波分解和重建将a式代入得:分解30小波分解和重建由于：，线性无关得分解算法:，分解算法示意图分解31小波分解和重建重建32小波分解和重建由于：，线性无关得重构算法:小波重建示意图重建338.5Matlab中常用小波基介绍34常用小波函数介绍（1）Harr小波尺度函数35常用小波函数介绍（2）Daubechies（dbN)小波系除db1（Haar小波），其余的

9、db系列小波函数没有解析的表达式36常用小波函数介绍（3）Symltes（symN）小波系sym小波在保持db小波简单性的基础上提高了小波的对称性37常用小波函数介绍（4）Coiflet(coifN)小波族具有更长支集长度和更大消失矩,是对称性比较好的小波系coif3的小波尺度、小波函数和分解重构滤波器38常用小波函数介绍（4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系正交基与正交小波变换从数学角度上说是最理想的，但Daubechis已经证明，除Haar基外，所有正交基都不具有对称性。

10、这在图像编码这类型失真的应用中，会引入相位失真，是很不理想的，因此希望有对称性质的小波基。Cohen和Daubechies构造了一类具有紧支撑性和一定正则性的对称双正交小波基，它的主要特性体现在具有线性相位性，主要应用在信号与图像重构。39常用小波函数介绍（4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系Bior2.4小波、对偶小波及滤波器40与小波函数有关的Matlab函数WAVEINFO函数：提供小波工具箱中所有小波信息。WAVEF