高等数学_导数微分边际与弹性(习题)

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1、第三章导数微分边际与弹性习题3-11、设有一根细棒位于轴上的闭区间处,对棒上任意一点处,细棒分布在上的质量为,用导数表示细棒在处的线密度(对均匀细棒,单位长细棒的质量叫该棒的线密度.解：在上,细棒的质量为,平均线密度为,那么,细棒在处的线密度为.2、当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度与时间的函数关系为,用导数确定该物体在时刻的冷却速度.解：从时刻到时刻,物体平均冷却速度为,那么,物体在时刻的冷却速度为.3、质量为的某种金属从加热到所吸收的热量为.它从升温到,所需的热量为,称为这种金属从到的平均比热的平均比热,用导数表示该金属在时

2、的比热.解：从升温到,金属的平均比热为,那么,金属在时的比热为.4、设,试按定义求.解：.5、下列各题中均假定存在,按照导数定义求下列极限,指出表示什么?(1).(2).(3)设且存在,则.(4)设为不等于零的常数,则.6、设(为常数),判定下列命题的正确性.(1)在点可导；解：正确.因存在且等于,于是在点可导,且.(2)；解：正确.因,有,,于是,.另解：正确.因,有,,于是,.(3)存在；解：正确.因.(3).解：正确.(同上)7、求下列函数的导数：(1)；解：.(2)；解：.(3)；解：.(4)；解：.(5)；解：.(6)；解：.8、设函数可导,且求

3、.解：.9、如果为偶函数,且存在,证明.证明：因为为偶函数,有,又存在,于是,所以.10、求曲线上点处的切线方程和法线方程.解：因,那么切线斜率：,法线斜率：.切线方程为,即；法线方程为,即.10、求过点的一条直线,使它与曲线相切.解：曲线在点的切线斜率为,于是,切线方程为,因此线过点,有又,联立上两方程解之得,故所求直线方程为即.11、讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：(1)在处；解：①因,,由于,故在处不可导.②因,,知,故在处连续.(2)在处；解：①因,,由于,故在处不可导.②因,故在处连续.(3)在处；解：①因,故在处不可导.②因,故在处不连

4、续.另解：因,知在处不连续,从而在处不可导.13、设函数　求导函数.解：①当时,,有；②当时,,有；③当时,由于,,于是.④总之,14、已知在处连续,且,求.解：由条件知,于是.15、设函数为了使函数在处连续且可导,应取什么值？解：①由于,那么,为了使函数在处连续,只需,即；②取,由于,,可见,为了使函数在处可导,只需,即；③总之,为了使函数在处连续且可导,应取,.16、设,其中在处连续,求.解：依题意,有,且,那么.17、证明:双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.证明：双曲线即,其上点处切线斜率为:,切线方程为:,令,得切线与轴的交

5、点纵坐标,令,得切线与轴的交点横坐标,于是,切线与两坐标轴构成的三角形的面积为　　　.习题3-21、推导余切函数及余割函数的导数公式：,.证明：..2、求下列函数的导数：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).另解：.(8).(9).(10).3、求下列函数在给定点处的导数：(1),求和.解：由于,于是,.(2),求.解：由于,于是.(3),求和.解：由于,于是,.4、求曲线的切线方程,使该切线平行于直线.解：已知直线的斜率为,依题意,曲线在点所求切线的斜率,　　得,相应的,则所求切线方程为　,即.5、求下列函数的导数：(1).(2).(3

6、).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10).6、求下列函数的导数：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10).7、求下列函数的导数：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10).(11).(12).另解：.8、设函数和可导,且,试求函数的导数.解：.9、设函数是可导函数,求下列导数：(1).(2).10、求下列函数的导数：(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10).习题3-31、求下列函数的二阶导数：(1)；解：，,.(2)；解

7、：，.(3)；解：，.(4)；解：，.(5)；解：，.(6)；解：，.(7)；解：，.(8)；解：，.2、求下列函数的导数值：(1),求；解：,,,于是.另解：于是.(2),求；解：,,于是.另解：,,由于,那么.(3),求；解：,,于是.3、试从导出：(1).(2).4、设二阶可导,求：(1);解：,.(2);解：,.(3);解：,.(4).解：,.5、验证函数(是常数)满足关系式：.证明：由于,,所以　.6、验证函数满足关系式：.证明：由于,,所以　.注意　记住下列函数的阶导数：(1).证：(1)当时,,公式成立.(2)假设公式对成立,即.(3).即公

8、式对成立.(2).证：(1)当时,,公式成立.(2)假设公式对成立