2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及答案

《2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》2010年全国高中数学联赛湖北省预赛2010年全国高中数学联赛湖北省预赛由湖北省数学竞赛组织委员会主办并具体组织活动，委托华中师范大学数学竞赛与普及研究所命题。试题以《高中数学竞赛大纲（2006年修订稿）》为依据，所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《普通高中数学课程标准》中所规定的教学内容和要求，在数学思想方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力，适当考虑全国联赛对参赛学生的要求。湖北省预赛按高一

2、、高二年级分开命题，试题包括8道填空题和4道解答题，全卷满分120分，考试时间为120分钟。湖北省预赛于2010年5月16日（星期日）上午8：00至10：00举行，约5万名学生参加，由各地市（州）安排考试并组织阅卷，从中选出约9000人参加全国高中数学联赛。试题一、填空题（每小题8分，共64分）1．数列满足：，且．记前项的和为，则．2．在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为．3．设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为．4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为．5．若均为正实数，且，则的最小值为

3、．6．设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则．7．对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为．8声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立．（1）求函数的解析式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．10．（20分）设，求使为完全平方数的整数的值．

4、11．（20分）已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．（1）用表示四边形的面积；（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．解答1．89提示：由已知可得．．2．提示：由余弦定理可得①又，则②由①②，．又由可得，故△的面积．3．98提示：设的展开式中有连续三项的系数分别为，由题意得声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》．依组合数定义展开并整理得．故（1）．，，代入（1），得，．由，．4．327提示：把这19个数按被3除所得的余数分类可以有三类：：3，6，9，12，15，18

5、；：1，4，8，11，14，17；：2，5，7，10，13，14，19．这样，满足题设条件的取法有且只有四种情形：（1）在中任取3个数，有种取法；（2）在中任取3个数，有种取法；（3）在中任取3个数，有种取法；（4）在中各取一个数，有种取法．因此，取法总数为：（种）．5．提示：因，所以．当且仅当时等号成立．所以．6．提示：先证明下面的结论：已知△ABC的内心为I，则AB＋AC－BC＝2AI．证明：设△ABC的内切圆与边AB、AC分别切于D、E两点，则AD＝AE＝（AB＋AC－BC），又AD＝2AI，所以AB＋AC－BC＝2AI．声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详

6、见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》对于本题的△，有．又中，所以，，从而．7．提示：记，已知条件即对一切恒成立．（1）当时，对一切实数，．（2）当时，可化为．设，则．当时，，所以函数在区间上单调递增，从而．因此．（3）当时，可化为．设，则．当时；当时；当时．所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而．因此．综合可知：．8．26提示：设所有放置中的最大数为，则，所以事实上26，6，26，26，6，26，26，6，26，26满足．9．（1）由已知，对有，两边同除以n并整理，得，于是，，声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛

7、备考手册（预赛试题集锦）》即，所以，．又时也成立，故．（2）当，有，所以时，有又时，．故对一切，有．10．．所以，当时，是完全平方数．下证没有其它整数满足要求．（1）当时，有，又，所以，从而．又，所以此时不是完全平方数．（2）当时，有．令，则，即，所以，即．解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数．综上所述，使为完全平方数的整数的值为10.11．（1）直线的倾斜角为，记，则，声明：本资料未经过编辑加工，可能