计算方法习题选编及参考解答

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1、一、选择题（每小题4分，共20分）1.误差根据来源可以分为四类，分别是（A）A.模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；B.模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；C.模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；D.模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。2.若，则其六阶差商（C）A.0；B.1；C.2；D.3。3.数值求积公式中的Simpson公式的代数精度为（D）A.0；B.1；C.2；D.3。4.若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Se

2、idel迭代法（B）A.都发散；B.都收敛C.Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法发散；D.Jacobi迭代法发散，Gauss-Seidel迭代法收敛。5.对于试验方程，Euler方法的绝对稳定区间为（C）A.；B.；C.；D.；二、填空题（每空3分，共18分）1.已知，则，16，2.已知，则f(x)的线性插值多项式为,且用线性插值可得f(7)=2.6。3.要使的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取4位有效数字。三、利用下面数据表，10.466758.030146.04241

3、4.425693.12014f(x)(x)2.62.42.22.01.8x1.用复化梯形公式计算积分的近似值；解：1.用复化梯形公式计算取1分2.用复化Simpson公式计算积分的近似值。(要求计算结果保留到小数点后六位).（14分）解：用复化辛甫生公式计算取8分四、已知矩阵，求矩阵A的Doolittle分解。（10分）解：用紧凑格式法2分5分8分10分四、用Newton迭代法求解方程在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。（12分）解：，6分8分，11分故，方程的近似根为1.8974

4、12分六、对下面线性方程组（12分）1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；解1.雅可比法:是对角元素为正的实对称阵,下面判别是否同时正定:正定5分不正定.即不同时正定8分故,Jacobi法发散.9分2.高斯-塞德尔法:由1知,是实对称正定矩阵,所以Gauss-Seidel法收敛.10分其迭代格式为12分七、已知初值问题：，取步长h=0.1，1.用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；2.用改进的Euler方

5、法求上述初值问题的数值解。（14分）解：1.建立具体的Euler公式:3分已知，则有：5分7分解：2.建立具体的改进的Euler公式:10分已知则有：12分14分      习题一　1.     设 ，假定g是准确的，而对的测量有秒的误差，证明当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。 2.     设且 ，求证： 3.     在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，  问使用函数表的步长应取多少？ 4.   求在［a,b］上的分段线性插值函数，并估计误差。 5. 

6、    已知单调连续函数的如下数据 －0.110.001.501.80－1.23－0.101.171.58  用插值法计算约为多少时（小数点后至少保留4位） 6.   设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式，  使其满足            ，，, 　  并写出误差估计式。 7、利用Remez算法，计算函数，在区间[0，1]上的二次最佳一致逼近多项式（要求  精度为0.0005）.8、给定，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在

7、上  求的三次最佳一致逼近多项式。 9、设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方 逼近，并比较其结果。　10、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。   192531384419.032.349.073.387.8 11、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参   考讲义与参考书） 12、求在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre正交多项式） 13、编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作

8、最小二乘拟合的程序或框图。 14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。　1）2）3）4） 15．用下列方法计算积分，并比较结果。　1）龙贝格方法；2）三点高斯公式；3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。　16.建立高斯型求积公式。（参考讲义与参考书）           习题二　　1.     用矩阵的直接三角分解法（LU分解）解方程组               。　　 2.     矩阵第一行乘以一数，成为