平面向量知识点归纳与例题 练习(内含答案)(1)

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1、平面向量一：知识框架图；二、详细知识要点讲解；重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母、等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，。；若，，则，3.零向量、单位向量：①长度为的向量叫零向量，记为；②长度为个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：①方向的向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平

2、行.向量、、平行，记作∥∥.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：相等且相同的向量叫相等向量.6．向量的基本运算（1）向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。坐标运算：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a+b=，a-b=。(2)平面向量的数量积：ab=。设a=(x1,y1),b=(x2,y2)则ab=。（3）两个向量平行的充要条件∥=λ（不是零向量）若=(x1,y1),=(x2,y2)，则∥。（4）．两个非零向量垂直的充要条件是⊥·=。设=(x1,y1)，=(x2,y2)，则⊥。.向量的加法、减法：①求两

3、个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即：-=+(-)；差向量的意义：=,=,则=-③平面向量的坐标运算：若，，则，，。④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+)+=+(+)7．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）

4、λ

5、=

6、λ

7、

8、

9、；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=；（3）运算定律λ(μ)=，(λ+μ)=，λ(+)=。8．向量共线定理向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=。9．平面向量基本定理：

10、如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。10.向量和的数量积：①·=其中∈[0，π]为和的夹角。②

11、

12、cos称为在的方向上的投影。③·的几何意义是：的长度

13、

14、在的方向上的投影的，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。④若=（，）,=（x2，）,则⑤运算律：a·b=b·a,(λa)·b=

15、a·(λb)=λ（a+b）·c=。⑥和的夹角公式：cos=＝⑦

16、

17、2=x2+y2，或

18、

19、=⑧

20、a·b

21、≤

22、a

23、·

24、b

25、。11．两向量平行、垂直的充要条件设=（，）,=（，）①a⊥ba·b=0，=+=0；②（≠）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。三：难点、易错点；1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法。3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其

26、几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。四：考点举例及配套课堂练习（例题讲解）（一）基础知识训练1.下列命题正确的是（）单位向量都相等任一向量与它的相反向量不相等平行向量不一定是共线向量模为的向量与任意向量共线2.已知正六边形中，若，，则（）3.已知向量，=2若向量与共线，则下列关系一定成立是（）∥∥或4.若向量，共线且方向相同，=__________。5．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是（）A.B.C.D.（二）．典例分析例1：（1）设与为非零向量，下列命题：①若与平行，则与向量的方向相同或相反；②若与共线

27、，则A、B、C、D四点必在一条直线上；③若与共线，则；④若与反向，则其中正确命题的个数有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（2）下列结论正确的是（）（A）（B）（C）若（D）若与都是非零向量，则的充要条件为错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A或B或C。分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（与共线）的充要条件中所存在的常数可看作为向量作伸缩变换成为另一个向量所作的伸缩量；若，为非零向量，则共线的与满足与同向时，

28、与反向时。