椭圆常见题型与典型方法归纳

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1、椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆常见题型与典型方法归纳考点一椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a>F1.F2)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=c(0迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数2a(2a=F1F2;1.F2)的点的轨迹是线段F当平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数2a(2

2、a考点二12椭圆的标准方程一标准方程x2y21焦点在x轴上标准方程是：2+2=1（其中b2=a2-c2,a>b>0).焦点的坐标分别为(-c,0),(c,0)aby2x22焦点在y轴上标准方程是：2+2=1（其中b2=a2-c2,a>b>0).焦点的坐标分别为(0,-c),(0,c)abx2y2+=1的焦点坐标3焦点位置判断哪项分母大焦点就在相应的轴上如求794椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为mx+ny=1（其中m>0,n>0）22例已知椭圆过两点A-1),B(，求椭圆标准方程y2x2x2y25与2+2=1（a＞b＞0）共焦点的椭圆为2+2=1ab

3、a+kb+k二重难点问题探析:121.要有用定义的意识x2y2+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若F2A+F2B=12例已知F1,F2为椭圆2591x2y2+=1的离心率为，m=。则AB=________。2.标准方程要注意焦点的定位例椭圆24m练习.1如果方程x2+ky2=k表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为x2y22点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，求点P的横坐标259二典型练习x2y2+=1的长轴位于轴，长轴长等于,焦点坐标1.椭圆43分别是和；离心率e=；左顶点坐标是;下顶点坐标是；椭圆上点的横坐标的范

4、围是，纵坐标的范围是；x0+y0的取值范围是2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍,则椭圆的离心率（2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍,则椭圆的离心率e∈（3）若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率e=12。考点四点、线与椭圆的位置关系x2y2一点p(x0,y0)和椭圆2+2=1(a>b>0)的位置关系abx02y02（1）点p(x0,y0)在椭圆外⇔2+2>1abx02y02（3）点p(x0,y0)在椭圆内⇔2+2ab二.直线与椭圆的位置关系：1判断直线与椭圆相交⇔∆>0;直线与椭圆相切⇔∆

5、=0;直线与椭圆相离⇔∆（1）步骤：由椭圆方程与直线l方程联立方程组；消元得一元二次方程；用韦达定理写成两根和积（2）弦长公式直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则222①当直线的斜率存在时，弦长公式：l=+kx1-x2=(1+k)⋅(x1+x2)-4x1x2x02y02（2）点p(x0,y0)在椭圆上⇔2+2=1ab②当k存在且不为零时l=+三12常用方法112y-y=1+(y+y)-4y1y2。121222kkx2y2+=1的右焦点作一条斜率为-1的直线，与椭圆相交于A,B；1设而不求法例经过椭圆43（I）求线段A

6、B的中点的坐标；（II）求线段AB的长2点差法例求椭圆x+2y=1中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.x2y2【小结】设A(x1,y2)，B(x2,y2)是椭圆2+2=1上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0,y0)为AB的中ab22点，则两式相减可得y1-y2y1+y2b2⋅=-2即．x1-x2x1+x2ax2y23．中点弦问题：例若椭圆12+=1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为369x2y2+=1的左、右焦点.练习：设F1、F2分别是椭圆54（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1⋅PF2的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（

7、5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得

8、F2C

9、=

10、F2D

11、？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.考点五焦点三角形的性质及应用一定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形设P(x0,y0)为椭圆上一点，

12、PF1

13、＝r1，

14、PF2

15、＝r2，∠F1PF2＝θ)2221方法(1)定义：r(2)余弦定理：＋r＝2a(2c)=r＋r2rr1212－12cosθ(3)面积S∆pF1F2=11r1r2sinθ=2cy01222x2y22性质已知椭圆方程为2+2=1(a>b>0),左右两焦点分别为F1,F2,在焦点△PF1F2中，则ab⑴S∆

16、F1PF2=btan2θ2⑵若∠F1P