chapter4 工具变量法

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1、第1章两阶段最小二乘法在模型的基本假定中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的无偏性和一致性。当这一假定被违背时，称解释变量是内生的。常见的几种情况会导致内生问题：忽略重要的解释变量、变量的测量误差、变量的联立性。工具变量估计是解决解释变量内生问题的基本方法。本章介绍工具变量法和两阶段最小二乘法，以及模型内生性检验和过度识别约束检验等问题。1.1变量的内生性如果模型中的解释变量与误差项出现相关，即，称解释变量是内生的。导致解释变量内生性的原因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。

2、模型中出现内生解释变量时，OLS估计量是不一致的。根据OLS估计量：(1.1)由假定Rank(X)=K和大数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得：，。(1.2)又由Slustky定理，(1.3)1.2工具变量估计1.2.1工具变量在如下模型中，y=Xb+u第i个解释变量xi为内生解释变量。如果存在变量z，z满足如下两个条件：正交条件：与u不相关，即cor(z,u)=0相关条件：与x相关，即cor(z,xi)¹0，也称为识别约束条件。那么，z被称作xi的工具变量。1.1.1工具变量估计设回归模型为：y=Xβ+u(1.4)其中，解释变量

3、为X（1×K）工具变量为Z（1×K）。Z作为工具变量满足正交条件和识别约束条件。在正规方程组中，用Z替换X，(1.5)解此方程组，可得IV估计量为：(1.6)将y=Xβ+u带入估计量中，可得可以证明，即IV估计量是无偏的，但不是有效的。同时，由可知，IV估计量是一致的。1.2两阶段最小二乘法设模型中存在K个内生解释变量，存在L=K个工具变量。每个工具变量都必须满足正交条件和相关条件。如果L=K，称为恰好识别；如果L>K，称为过度识别。即利用其中不同的K个工具变量，都可以得到不同的估计量。当然，用任何一组工具变量得到的估计量都是一致的。因此

4、，现在的问题是如何在这L个工具变量中找到K个工具变量使其估计量最有效。这即是两阶段最小二乘法。1.2.1TSLS估计设模型为：(1.7)其中，解释变量为X（1×K）工具变量为Z（1×L）。用Z作为工具变量，Z满足正交条件和识别约束条件。首先回归模型(1.8)可得，并提取拟合值。令，PZ为对称幂等矩阵，则。然后，利用做为工具变量回归模型，可得IV估计量为：(1.9)而。由此可得：(1.10)而是y对的OLS回归估计量。因此，利用作为工具变量作IV回归与利用替换X作LS回归是等价的。也正因为此，我们称之为两阶段最小二乘法。估计步骤归纳如下。S

5、tep1：利用X对Z作OLS回归：；提取拟合值。Step2：用替换X，直接作OLS回归。1.1.12SLS的渐进特征假定1：令X表示解释变量（包括常数变量1）。假定存在L个工具变量构成的（1×L）向量Z，满足E(Z'u)=0。Z包含模型中的外生解释变量。如果模型中存在内生变量，则Z必须包含模型以外的外生变量。假定2：（A）Rank(Z'Z)=L；（B）Rank(Z'X)=K。（A）条件是指L个向量Z不存在完全的线性关系；条件（B）是指Z与X充分线性相关，即所有工具变量都必须满足识别约束条件。条件（B）称为秩条件。秩条件成立的必要条件是L≥

6、K。即，工具变量的个数至少等于解释变量的个数，称之为阶条件。由X=ZP+v（其中，P为L×K矩阵），两侧同时乘Z并求期望可得：(1.11)令X*=ZP=Z[E(Z'Z)]-1E(Z'X)。在Xβ+u=y两边同时乘以X*可得，X*'Xβ+X*'u=X*'y(1.12)求期望可得：E(X*'X)β=E(X*'y)(1.13)而X*'X=X*'ZP+X*'v，E(X*'X)=E(X*'Z)P+E(X*'v)=E(X*'Z)PE(X*'Z)=E[(X-v)'Z]=E[X'Z-v'Z]=E(X'Z)将P=[E(Z'Z)]-1E(Z'X)带入上两个式

7、子中，可得：E(X*'X)=E(X'Z)[E(Z'Z)]-1E(Z'X)=E(X'Z)[E(Z'Z)]-1E(Z'X)(1.14)E(X*'y)=E(X'Z)[E(Z'Z)]-1Z'y注意，上式中Z是（1×L）阶，X是（1×K）阶。因此，X'Z是（K×L）阶，Z'Z是（L×L）阶，Z'X是（L×K）阶。如果要估计出β，E(X*'X)必须是非奇异的，当且仅当E(Z'X)的秩为K。将其带入β=[E(X*'X)]-1E(X*'y)，可得β=[E(X*'X)]-1E(X*'y)={E(X'Z)[E(Z'Z)]-1E(Z'X)}-1{E(X'Z)[

8、E(Z'Z)]-1Z'y}(1.15)β的TSLS估计量为：(1.16)1．一致性由2SLS估计量可得：(1.17)由大数定律和Slustky定理，可得：。即2SLS估计量具有一致性。2．渐进