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1、函数连续性在矩阵分析中的应用在数学分析的学习中知道,函数的连续性具有非常好的特性,比如局部有界性,介值性等,这使得很多问题在函数连续的基础上可以变得简单,那么函数连续性在高等代数中是否也有同样的好处,可以将问题简单化呢?类似于矩阵特征多项式和含字母矩阵的k阶主子式等这样一类都是关于参数的多项式,而多项式为一连续函数,因此函数的连续性可以应用在矩阵中,从而引发了对函数连续性在矩阵的各方面的应用,比如:在伴随矩阵,矩阵的正定性以及矩阵对应行列式的计算等各方面的应用。一、预备知识定义、函数在一点连续的定义:若函数在的邻域
2、包含本身有定义,并且,我们就称在点连续。定义、函数在某一区间内有定义:若函数在开区间内每一点都连续,也就是说对内任何一点皆成立,则称在内连续,对闭区间来说,在上连续的定义是指:在内连续,同时有,,则称在内连续。引理、由初等函数的连续性知,多项式在上为连续函数。定理、(代数基本定理)任意一个n次复系数多项式一定有n个复数根,其中n>1.定理、设是任意一个n次复系数多项式,n>0,则恰有n个复数根,而且,其中是的首项系数。引理、证明:由于,故,从而,于是,证得.引理、引理4、对上的任一矩阵A,存在,使得在上有可逆,其中
3、.证明:=其中A=则是关于的多项式,由多项式的根的存在性定理知它具有个根,设不全为零,并记,取正数,使得,于是对任意的,,即可逆。引理:设n阶实矩阵,若,则。证明:若,则A的列向量线性相关,故存在不全为零的数,使不妨设是中最大的数,则,于是,则,于是,矛盾!二、函数连续在伴随矩阵中的一些应用对于方阵A,存在等式,特别地,若A可逆就有,但若A不可逆时,这个等式就不成立,在讨论有关伴随矩阵的一些特性时,对A可逆的情况,利用可方便证明相关结论,对A不可逆的情况,往往可利用这样一类矩阵配合函数的连续性进行推导。2.1、用表
4、示阶方阵的伴随矩阵,证明:证明:i)当A可逆时,可逆且有ii)当A不可逆时,令,由引理四,存在定区间,使得可逆,由情形i)知有,从而当时,取极限有.综合情形i),ii)有结论:=、证明:证明:i)先证明A,B可逆的情形。当A,B均可逆时,即,这时有:即证得ii)再证明A,B不可逆的情形。令,则存在公共的,使及均可逆。事实上,=其中A=,则是关于的多项式,因此由多项式的根的存在性定理知它具有个根,设不全为零,并记,取正数,使得,于是对任意的,,即可逆。同理,=其中B=,则是关于的多项式,因此由多项式的根的存在性定理即
5、定理二知它具有个根,设不全为零,并记,取正数,使得,于是对任意的,,即可逆。取,则当任意的,均有且,即这时与均可逆,这时由情形i)即有,从而当时,取极限有。综上所述,无论A,B是否为可逆矩阵,均有成立。注:在的证明过程中,当A,B可逆时,证明的过程是简单的,利用即可得到,而当A,B不可逆时,与不存在,因此,公式不可用,那么借助与,由行列式的知识知它们的行列式都是的次多项式,再由多项式的知识找出一个区间,使得在这个区间上与的行列式均不为零,即意将情形ii)归为情形i),最后利用函数的连续性得出结论。设A,B为任意两个
6、方阵,若A~B,则其伴随矩阵也相似,即.证明:i)当A,B均可逆时,由和有,(1)因为A与B相似,故存在可逆方阵P,使得(2)两边取行列式得,将(1)式代入(2)式中得到:因为,所以,即=,在等式两边同乘得:,即于是有,那么,从而.ii)当A,B均不可逆时,令,,由引理4,存在,使得在上有与均可逆,且有,即,由情形i)知,从而当时,取极限有.三、函数连续性在行列式计算中的应用分块矩阵能简化高阶矩阵的运算,可应用于高阶矩阵的逆矩阵和秩的求解、行列式计算等问题中,矩阵的特征多项式也是关于行列式的计算,并且是一类本身就带
7、有参数的特殊行列式计算,以下我们应用函数的连续性来解决行列式计算的一些问题。、,其中A,B,C,D且AC=CA证明:i)先证明A可逆的情形。(1)显然,因此对(1)式两边取行列式得到由于,所以于是ii)再证明A不可逆的情形。记=其中A=,易知是关于的次多项式。因此,由多项式的根的存在性定理即定理二知它具有个根,设不全为零,并记,取正数,使得,于是对任意的,,,即可逆。由于AC=CA,故,如果全为零,则同样存在正数,使得对任意,,可逆,并且,于是,由i)中证得的结论,得知,上式两端都是关于的多项式,从而是关于的连续函
8、数,因此当时,上式就化为注:在对分块矩阵的计算中,采取左乘(或右乘)初等矩阵,但当矩阵A不可逆时则要构造函数,找到一个区间,使该函数在基上连续且可逆,将情况归于情形i),最后应用函数的连续性证得。另外,类似的,当一矩阵可逆时结论易证,那么在考虑其不可逆的情况时,可以尝试利用函数连续性将问题归为可逆一类。若A,B是n阶方阵,则AB与BA有相同的特征多项式。证明