函数连续性在矩阵分析中的应用

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1、函数连续性在矩阵分析中的应用在数学分析的学习中知道，函数的连续性具有非常好的特性，比如局部有界性，介值性等，这使得很多问题在函数连续的基础上可以变得简单，那么函数连续性在高等代数中是否也有同样的好处，可以将问题简单化呢？类似于矩阵特征多项式和含字母矩阵的k阶主子式等这样一类都是关于参数的多项式，而多项式为一连续函数，因此函数的连续性可以应用在矩阵中，从而引发了对函数连续性在矩阵的各方面的应用，比如：在伴随矩阵，矩阵的正定性以及矩阵对应行列式的计算等各方面的应用。一、预备知识定义、函数在一点连续的定义：若函数在的邻域

2、包含本身有定义，并且，我们就称在点连续。定义、函数在某一区间内有定义：若函数在开区间内每一点都连续，也就是说对内任何一点皆成立，则称在内连续，对闭区间来说，在上连续的定义是指：在内连续，同时有，，则称在内连续。引理、由初等函数的连续性知，多项式在上为连续函数。定理、（代数基本定理）任意一个n次复系数多项式一定有n个复数根，其中n>1.定理、设是任意一个n次复系数多项式，n>0，则恰有n个复数根，而且，其中是的首项系数。引理、证明：由于，故，从而，于是，证得.引理、引理4、对上的任一矩阵A，存在，使得在上有可逆，其中

3、.证明：＝其中A=则是关于的多项式，由多项式的根的存在性定理知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，，即可逆。引理：设n阶实矩阵，若，则。证明：若，则A的列向量线性相关，故存在不全为零的数，使不妨设是中最大的数，则，于是，则，于是，矛盾！二、函数连续在伴随矩阵中的一些应用对于方阵A，存在等式,特别地，若A可逆就有，但若A不可逆时，这个等式就不成立，在讨论有关伴随矩阵的一些特性时，对A可逆的情况，利用可方便证明相关结论，对A不可逆的情况，往往可利用这样一类矩阵配合函数的连续性进行推导。2.1、用表

4、示阶方阵的伴随矩阵，证明：证明：i）当A可逆时，可逆且有ii)当A不可逆时，令，由引理四，存在定区间，使得可逆，由情形i）知有，从而当时，取极限有.综合情形i），ii）有结论：＝、证明：证明：i）先证明A,B可逆的情形。当A,B均可逆时，即，这时有：即证得ii)再证明A,B不可逆的情形。令，则存在公共的，使及均可逆。事实上，＝其中A=，则是关于的多项式，因此由多项式的根的存在性定理知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，，即可逆。同理，＝其中B=，则是关于的多项式，因此由多项式的根的存在性定理即

5、定理二知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，，即可逆。取，则当任意的，均有且，即这时与均可逆，这时由情形i）即有，从而当时，取极限有。综上所述，无论A,B是否为可逆矩阵，均有成立。注：在的证明过程中，当A,B可逆时，证明的过程是简单的，利用即可得到，而当A,B不可逆时，与不存在，因此，公式不可用，那么借助与，由行列式的知识知它们的行列式都是的次多项式，再由多项式的知识找出一个区间，使得在这个区间上与的行列式均不为零，即意将情形ii）归为情形i），最后利用函数的连续性得出结论。设A,B为任意两个

6、方阵，若A~B,则其伴随矩阵也相似，即.证明：i）当A,B均可逆时，由和有,(1)因为A与B相似，故存在可逆方阵P,使得(2)两边取行列式得,将（1）式代入（2）式中得到：因为，所以，即＝,在等式两边同乘得：，即于是有，那么,从而.ii）当A,B均不可逆时，令，，由引理4，存在，使得在上有与均可逆，且有，即，由情形i）知，从而当时，取极限有.三、函数连续性在行列式计算中的应用分块矩阵能简化高阶矩阵的运算，可应用于高阶矩阵的逆矩阵和秩的求解、行列式计算等问题中，矩阵的特征多项式也是关于行列式的计算，并且是一类本身就带

7、有参数的特殊行列式计算，以下我们应用函数的连续性来解决行列式计算的一些问题。、,其中A,B,C,D且AC=CA证明：i）先证明A可逆的情形。(1)显然,因此对（1）式两边取行列式得到由于，所以于是ii）再证明A不可逆的情形。记＝其中A=，易知是关于的次多项式。因此，由多项式的根的存在性定理即定理二知它具有个根，设不全为零，并记，取正数，使得，于是对任意的，，,即可逆。由于AC=CA,故,如果全为零，则同样存在正数，使得对任意，，可逆，并且，于是，由i）中证得的结论，得知，上式两端都是关于的多项式，从而是关于的连续函

8、数，因此当时，上式就化为注：在对分块矩阵的计算中，采取左乘（或右乘）初等矩阵，但当矩阵A不可逆时则要构造函数,找到一个区间，使该函数在基上连续且可逆，将情况归于情形i），最后应用函数的连续性证得。另外，类似的，当一矩阵可逆时结论易证，那么在考虑其不可逆的情况时，可以尝试利用函数连续性将问题归为可逆一类。若A,B是n阶方阵，则AB与BA有相同的特征多项式。证明