2008年考研数学一大纲深度解析

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1、2008年数学一大纲深度解析---变化内容解读万学·海文l考研数学考试大纲的具体变化1、在一元函数微分学中，增加了“曲率圆”.2、在考试要求当中会用导数判断函数图形的凹凸性增加了”(注：在区间内，设函数具有二阶导数，当时，的图形时凹的；当时，的图形时凸的)”。3、在一元函数积分学部分在考试要求中掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量当中增加了“形心”。4、在向量代数和空间解析几何中，考试内容当中由07年的平行于坐标轴的旋转曲面改为“旋转曲面”，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程改为“旋转曲面”；同时考试要求当中将原来“会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及

2、母线平行于坐标轴的柱面方程”改为“会求简单的柱面和旋转曲面的方程”。5、在概率随机变量及其分布，在考试要求当中增加了二项分布函数符号，和波松分布函数符号，均匀分布函数符号和指数分布的函数分布符号。6、在多维随机变量及其概率分布中，在考试要求当中增加了二维正态分布的函数符号。7、在大数定理和中心极限定理的考试要求当中，由原来“了解分位数的概念并会查表计算”改为“了解上侧分位数的概念并会查表计算”。l变化知识点解读1、曲率圆定义：曲率圆设曲线在点处的曲率为．在点处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点，使．以为圆心，为半径作圆（如图），这个圆叫做曲在点处的曲

3、率圆，曲率圆的圆心叫做曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径叫做曲线在点M处的曲率半径．几何意义:如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶导数。第7页图一：曲率半径示意图缘由：为平衡曲线的弯曲程度。平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。例1：对于圆，。所以：圆周的曲率为，是常数。圆周的曲率半径为圆的半径即：。例2：对于直线，而直线上，所以，即直线“不弯曲”。直线的曲率半径为无穷大即：对于一个点

4、，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：。公式的推导：由于，所以要推导与的表示法，称为曲线弧长的微分。因为，所以。令，同时用代替得所以即：第7页再推导，因为，所以，两边对求导，得，于是推出。下面将与代入公式中得：例3：求上任一点的曲率及曲率半径解：由于所以：，建议：知道曲率圆的几何意义，学会推导曲率半径的公式。1、凹凸性定义：在区间内，设函数具有二阶导数，当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的。缘由：经济学和数学中，对于凹凸的定义确实是相反的。不同作者的定义可能说法不一致时造成混乱。其实凹凸在描述

5、上是有方向的，高等数上是讲向上凹或向上凸的，而我们的知觉就是凸的当然是向上。这种以官方性语言的规定有利于考试的规范性。例4：曲线的凸区间是解：令,得。即列表如下第7页+0+因而其上凸区间，即的区间为：建议1、偶函数在对称区间内，凹凸性相同，拐点关于y轴对称。2、奇函数在对称区间内，凹凸性相同，拐点关于原点对称。3、设在点的处连续，在左右邻域存在且异号，则点是曲线的拐点，若同号，则点不是曲线的拐点。4、找一种你认可的直观方法记住凹凸性的官方说法，例如：我们认为向上才是人类的习惯（比如我们认为是递增的，而不设为是递减的）。5、加强凹凸性与拐点的关系理解

6、1、形心定义：物体的几何中心,。其中为闭区域D的面积，形心完全由闭区域D的形状所决定。几个结论：1、重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。(与组成该物体的物质有关)2、物体的几何中心。(只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。3、一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。4、当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；第7页1、只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。2、对于一些常

7、见的简单图形，如圆形、矩形、三角形、正方形等，其形心都是熟知的，利用这些简单图形的形心，由叠加法即可确定由这些简单图形组成的组合图形的形心。例5：求位于两圆和之间的均匀薄片的形心。解法一：由对称性知形心位于y轴上。，而面积A=由公式形心是解法二：形心是矩的合成点。采用叠加法，由一个半径为2的“正圆”与一个径为1的“负圆”组成。对于半径为2的“正圆”来说形心是，面积是,对于半径为1的“负圆”来说形心是。设所求的形心为，则矩平衡公式可得矩方程：解得：,于是形心是建议：学会对称思想的灵活应用。巧妙使用“正面积”“负面积”的叠加法。注意重心与形心的区别，有

8、条件的情况下可以去背诵各种简单形、面、体的形结论。4、旋转曲面与母线定义：在空间由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行